引言

力平衡式传感相比于其他传感类型，具有静态精度和线性度高、滞后小、灵敏度高、低频响应好等优点，已经被广泛应用于加速度传感器、声压传感器、重力仪等器件^[1-4].闭环控制策略是力平衡式传感器的关键环节，控制目的是设计控制力实时跟踪外界时变的加速度信号.而当前控制算法（如PID）的设计多以加速度计敏感元件偏移平衡位置的位移最小为目标，限制了力平衡加速度传感器的测量精度和适用带宽.随着传感器精度要求的进一步提高，发展更高精度和带宽的控制算法变得非常重要.

对于FBA，加速度是由反馈控制力计算得到的，这意味着测量精度由反馈控制策略决定.FBA中的反馈控制通常被设计成跟踪一个随机的未知惯性力，这一直是FBA发展的难点和瓶颈.PID控制算法设计简单，是目前工业控制系统中最常用的控制算法^[5，6].然而对于FBA，PID的设计通常是为了使敏感元件达到平衡状态，而不是追求力平衡误差最小，这限制了FBA的测量精度或测量带宽.2006年以前力平衡加速度计可以测量的输入信号频率带宽一般在80Hz^[7]以内.到了2010年以后，一些学者提出的控制方法能将测量带宽提高到300~350Hz^[8，9].Hassani等将滑模控制器加入PID中，提出了一种MEMS力平衡加速度计的非线性混合控制策略，该策略比传统的PID具有更好的加速度测量分辨率^[10].Sung等基于改进自动增益控制，设计了一种适用于振动速率传感器的力平衡控制策略^[11].Benmessaoud等利用实际的微机械速度传感器进行了实验，验证了控制策略的性能提高，将简单的负反馈应用于力平衡微制造的电化学地震传感器^[12]，通过负反馈提高了MEMS传感器的测量带宽和自噪声电平等性能.Hosseini和Khiobadi提出了一种新的用于振动微机电系统（MEMS）陀螺器力平衡工作模式的模型预测控制（MPC）^[13].对于MEMS陀螺应用，所提出的控制方法对较大的参数不确定性、外部扰动具有较强的鲁棒性，并且能够在最优设置下处理硬输入约束.对于力平衡隧道加速度计，Yie等人提出了一种简单的低阶控制^[14]，仿真和实际实验证明，所设计的控制策略是有效且易于实现的，并且对系统的不确定性具有较强的鲁棒性.

本文以四拱梁悬挂的MEMS力平衡加速度计为对象，提出了以测量误差最小为目标的力平衡传感器的最优控制方法.本文的主要创新点和贡献在于:通过引入测量误差作为新的状态变量，将困难的力平衡控制转化为响应最小的经典控制问题，并得到反馈控制力的解析形式.本文的控制策略能有效地实现对阶跃、周期和随机等多种信号的实时跟踪和测量，控制算法不仅能快速稳定加速度计敏感元件的响应，并且还具有高达kHz级的测量带宽.

1 动力学模型

本文研究对象为图1（a）所示的MEMS力平衡加速度传感器，该传感器主结构包括中间位置的矩形质量块（敏感元件）、四根拱形细梁、梳齿结构检测电容极板以及静电力驱动电极等.测量原理描述为:外界加速度带来的惯性力导致敏感元件发生位移，差分电路检测到敏感元件位移并输入控制器中，控制器根据控制算法计算所需要的控制电压并施加于驱动电极上，从而对敏感质量产生静电控制力，当该控制力和外界惯性力达到平衡时，就可以精确计算出外界的加速度信号.

加速度传感器的敏感质量块通过四根拱形细梁悬挂，敏感元件的等效动力学模型如图1（b）所示.建立敏感元件的运动微分方程为:

其中，M为敏感质量块的质量; C为系统等效阻尼系数，通常由微机械结构的品质因子Q值确定; K为系统等效刚度系数，可由四根拱形梁的悬挂刚度计算得到; a（t）为外部输入的加速度信号（待测量）; U（t）为反馈的静电控制力.当达到力平衡时，加速度由反馈静电控制力计算得到

式（1）归一化为

其中，ω₀为系统的一阶固有频率，$Q=\sqrt{K\cdot M}/C$为品质因子，可由实验测得.

将式（3）转化成状态空间形式

其中，$\mathit{Z}（t）=[x（t），\dot{x}（t）{]}^{\mathrm{T}}$为状态向量，$\sigma （t）=a（t）-u（t）$为加速度测量误差，状态系数矩阵A和反馈系数矩阵B为

$\mathit{A}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -{\omega }_0^2& -\frac{{\omega }_0}{Q}\end{array}\right],\mathit{B}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$

敏感元件的振动由检测电容测量，振动引起的电容变化为

其中，n为检测梳齿电极的数量，ε₁，ε₂为介电常数，S为电容极板的有效面积，E_c为差分电容增益系数.电容引起的电压信号为

其中，E_d是检测模块增益系数，E_v是电容电压增益系数.电压信号V输入控制器，根据控制算法计算并输出控制电压V_f，静电控制力则由式（7）得到. 反馈控制力U由梳齿电极提供，即

其中，V_f是反馈电压信号，N为驱动梳齿数量，ε₀为介电常数，a、b分别为梳齿的宽度和厚度，c为组合齿的重叠量，d为梳齿到敏感元件初始间距，g为组合齿间距.

接下来将讨论如何设计合适的控制算法.

2 最优控制力设计

力平衡加速度传感器控制设计的目的是使得测量误差$\sigma （t）=a（t）-u（t）$在任一时刻均最小，即要求设计一个控制力$u（t）$能实时跟踪一个未知的时变加速度信号$a（t）$.这是一个未知信号的实时跟踪问题，一般难以解决.

为了解决这个问题，将测量误差$\sigma （t）$作为新的状态变量引入系统，此时，原系统方程（4）扩展为

式中，$Z_1（t）=[x（t），\dot{x}（t），\sigma （t）{]}^{\mathrm{T}}$为新系统的状态向量，$u_1（t）=\dot{\sigma }（t）$，

${\mathit{A}}_1=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -{\omega }_0^2& -\frac{{\omega }_0}{Q}& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right],{\mathit{B}}_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

在系统（8）里面，u ₁可看作新的控制力.针对扩展系统（8）的控制问题，假设有如下性能指标^[15，16]

其中，G为非时变正定（或半正定）实对称阵，R为实数.性能指标右边第一项要求系统敏感元件具有最小的振动幅值和最小的测量误差，振动幅值和测量误差间的权衡通过矩阵G调节.右边第二项表示要求实现控制目标的控制力最小，由R决定.

通过引入新的变量σ（t），系统方程变为扩展系统（8），原系统（4）的力平衡控制问题转为扩展系统（8）与性能指标（9）的响应最小控制问题.应用传统LQR方法^[15，16]得到最优控制力为

式中$P（t）$通过求解如下Riccati方程^[15，16]得到:

在很多工程应用中，往往关心的是频率范围为kHz量级以内的振动信号，因此，输入加速度信号频率一般为kHz量级，而控制执行系统的执行频率可以高达mHz量级，这意味着在控制力执行的几个周期里输入信号可以认为是常数^[14].因此，实际应用时可由关系式$u_1（t）=\dot{\sigma }（t）$得到$u_1（t）=\dot{u}（t）$的近似关系.对最优控制力式（10）积分可以得到原系统控制力为

式中$u\left(t_0\right)$为初始控制力，一般可设为0，$Z_1（t）$中第三项σ（t）所代表的力平衡误差根据式（4）求解得到，$u（t）$即为测量加速度值，$U（t）=Mu（t）$为施加到敏感元件上的控制力.将式（12）代入到式（7）可以计算出最优控制电压V_f，控制器输出最优控制电压，其施加于传感器的静力加载端达到静力平衡.

3 仿真和分析

为了验证上述控制方法的有效性，本文以一个实际的MEMS力平衡加速度计为对象进行仿真分析，得到系统状态方程的系数矩阵如下:

$\mathit{A}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -900& -300\end{array}\right],\mathit{B}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$

假定控制性能指标，根据上述过程可以得到最优控制力.其中性能指标的加权矩阵G和R设为

$\mathit{G}=\left[\begin{array}{ccc}{G}_{11}& 0& 0\\ 0& G_{22}& 0\\ 0& 0& G_{33}\end{array}\right],R=\text{const}$

由于力平衡传感器关注的重点是测量误差和敏感元件位移，对敏感元件速度不作要求，因此加权矩阵G只需给出G₁₁和G₃₃数值，而中间关于速度的权重值设为零，即取值为G₁₁=3×101，G₂₂=0，G₃₃=3×10^-5.为了探究控制算法的有效性，分别对未知的单位阶跃输入信号、正弦信号和随机信号进行实时测量仿真.R的取值根据不同的输入信号类型给出，对于阶跃输入信号，R =2×10^-6，对于周期和随机输入信号，R =1.06×10^-6.

3.1 单位阶跃输入信号测量

图2（a）是输入为单位阶跃信号的实时测量结果，实线为输入加速度信号，虚线为测量加速度信号.显然，测量值与输入值非常吻合，表明对于单位阶跃信号输入，最优反馈控制能够很好地进行实时跟踪.图2（b）为单位阶跃信号下敏感元件的响应曲线，本文平行梳齿间距设置为2.5μm，远大于图2（b）所示的最大位移，因此不会产生吸合现象.可以看出在该输入信号作用下敏感元件会发生阶跃响应，但是在控制力的作用下敏感元件会迅速回到平衡位置附近，表明反馈控制力除能实行精确加速度测量外还能抑制敏感元件的振动，能保证力平衡加速度传感器具有较大的动态范围.

3.2 周期输入信号测量

图3为不同频率正弦输入信号的加速度检测仿真曲线，正弦信号的幅值为1m/s²，频率为200~1000Hz，间隔200Hz.图3是针对不同频率信号的检测结果，可以看出信号频率1kHz范围内，测量信号与输入信号间存在一个固定的延迟1.8×10^-4s，对这个固定延时补偿之后，测量信号与输入信号能基本吻合，表明提出的控制方法对1kHz频率以内的输入信号都具有较好的测量效果.当输入信号频率1kHz时，计算得到测量信号相比于输入信号的幅值损失在2‰以内，二者误差很小.测量信号出现阶梯状是因为仿真中添加了AD采样模块.图4表示不同输入信号频率下敏感元件的位移响应.可以看出，在不同输入信号频率下敏感元件的振动幅值都维持在0.2μm以下，具有非常小的振幅.

3.3 随机输入信号测量

图5为有限带宽随机加速度输入信号的测量结果，输入的加速度信号频带分别为250Hz、 500Hz、 750Hz 和1kHz.同周期输入一样，跟踪信号与输入信号之间始终保持1.8×10^-4s的时滞，因此对跟踪信号进行了时滞补偿.可以看出，提出的控制方法对随机加速度信号的测量依然具有很好的效果，在1kHz频带范围内，测量信号与输入信号基本吻合.

图6为各随机输入下加速度传感器敏感元件的振动响应.提出的控制方法在有效进行信号检测的同时能使得敏感元件的振幅维持在微米量级.输入随机加速度信号幅值1m/s²时，敏感元件位移幅值为0.4μm左右，这有利于保证加速度传感器的大动态范围.

4 总结

反馈控制设计是限制力平衡式加速度传感器测量精度和带宽的主要制约因素.本文以梳齿电极MEMS力平衡加速度计为研究对象，提出了一种以检测误差最小为目标的力平衡加速度计最优控制方法.该控制方法将未知信号的跟踪控制问题转化为较为容易解决的响应最小化控制问题，得到了反馈控制力的解析表达式.仿真结果表明:①提出的控制方法能有效实现对阶跃、周期和随机加速度等多种信号的跟踪与测量; ②1kHz频带范围内加速度信号测量的幅值损失约为2‰，具有较高的测量带宽和测量精度; ③控制算法在进行有效信号测量的同时能将敏感元件的振动幅值控制在1μm以下，有利于保证传感器的大动态范围.

本文提出的控制算法虽然基于MEMS加速度传感器，但对其他类型力平衡加速度传感器和重力仪等同样适用.虽然文中用到的参数都基于实际传感器的实验测量，但提出的控制算法的验证基于Matlab仿真，后期将进行相关的试验验证.

参考文献