带Stewart平台的航天器刚柔耦合动力学建模与仿真分析

孔嘉祥，王博洋，刘铸永，郭其威，时军委，臧旭; Kong Jiaxiang; Wang Boyang; Liu Zhuyong; Guo Qiwei; Shi Junwei; Zang Xu

引 en

带Stewart平台的航天器刚柔耦合动力学建模与仿真分析^*

孔嘉祥¹
机构：
1. 上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院,上海 200240
×
，王博洋¹
机构：
1. 上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院,上海 200240
×
，刘铸永¹
机构：
1. 上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院,上海 200240
×
，郭其威²
机构：
2. 上海宇航系统工程研究所,上海 201109
×
，时军委²
机构：
2. 上海宇航系统工程研究所,上海 201109
×
，臧旭²
机构：
2. 上海宇航系统工程研究所,上海 201109
×

1. 上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院,上海 200240；
2. 上海宇航系统工程研究所,上海 201109；

RIGID-FLEXIBLE DYNAMIC MODELING AND SIMULATION OF STEWART PLATFORM SPACECRAFT^*

Kong Jiaxiang¹
Affiliation：
1. School of Naval Architecture, Ocean & Civil Engineering, Shanghai Jiao Tong University,Shanghai 200240 ,China
×
，Wang Boyang¹
Affiliation：
1. School of Naval Architecture, Ocean & Civil Engineering, Shanghai Jiao Tong University,Shanghai 200240 ,China
×
，Liu Zhuyong¹
Affiliation：
1. School of Naval Architecture, Ocean & Civil Engineering, Shanghai Jiao Tong University,Shanghai 200240 ,China
×
，Guo Qiwei²
Affiliation：
2. Aerospace System Engineering,Shanghai 201109 ,China
×
，Shi Junwei²
Affiliation：
2. Aerospace System Engineering,Shanghai 201109 ,China
×
，Zang Xu²
Affiliation：
2. Aerospace System Engineering,Shanghai 201109 ,China
×

1. School of Naval Architecture, Ocean & Civil Engineering, Shanghai Jiao Tong University,Shanghai 200240 ,China；
2. Aerospace System Engineering,Shanghai 201109 ,China；

通讯作者:

刘铸永,E-mail:zhuyongliu@sjtu.edu.cn

中图分类号:O313.7

文献标识码:A

文章编号:1672-6553-2022-20(6)-076-09

DOI:10.6052/1672-6553-2021-081

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参考文献
出版信息

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目录contents

摘要 Abstract
关键词 Keywords
1 带Stewart平台航天器刚柔耦合动力学建模
1.1 运动学递推关系描述
1.2 动力学建模
2 数值仿真
2.1 简化模型有效性验证
2.2 有效载荷微幅振动仿真研究
3 结论
参考文献

摘要

本文采用柔性多体系统单向递推组集的建模方法,基于速度变分原理建立了带Stewart平台、柔性帆板和CMG组件的航天器刚柔耦合动力学模型.由于该模型自由度较大,无法满足实时控制的需求,因此建立了简化的Stewart平台等效模型,并通过与柔性Stewart平台完整模型对比,验证了所建立的动力学简化模型的正确性与高效性.分析了星体平台运动及柔性帆板的振动对有效载荷动力学响应的影响,指出了设计Stewart平台的微振动抑制方案时不能忽略下平台的运动及柔性附件的振动.本研究为带Stewart平台的航天器的微振动减振设计与高精度指向提供了有效的技术支撑.

Abstract

The modeling method of forward recursive formulation of flexible multibody systems is used in this paper. Based on the principle of velocity variation, a rigid-flexible coupling dynamics model of a spacecraft with Stewart platform, flexible solar panels and CMG components was established. Due to the large degree of freedom of the model, unable to meet the needs of real-time control. Therefore, an equivalent simplified model of the Stewart platform with simplified legs was established. Through comparison with the complete model of the flexible Stewart platform spacecraft, the correctness and efficiency of the established dynamic model were verified. The influence of the motion of the main platform and the vibration of the flexible panels board on the dynamic response of the payload is analyzed. It is pointed out that the motion of the main platform cannot be simply fixed or the vibration of the flexible panels cannot be ignored when designing the micro-vibration suppression scheme of the Stewart platform. The research in this paper provides effective technical support for micro-vibration damping and high-precision pointing of spacecraft with Stewart platform.

关键词

Stewart平台；刚柔耦合；递推组集方法；动力学建模；仿真分析

Keywords

Stewart platform ； rigid-flexible coupling ； forward recursive formulation ； dynamic modeling ； simulation analysis

引言
随着航天技术的发展，现代航天器设计中出现了许多中心刚体附加如柔性帆板、数传天线等柔性附件^[1]的航天器，这类航天器即为典型的刚柔耦合多体系统^[2，3].空间在轨航天器由于自身姿态运动引起的柔性附件微幅振动以及星体平台、有效载荷之间的耦合作用^[4]，对系统的运动稳定性造成了影响.工程中往往需要对航天器有效载荷进行精确指向与实时控制.
Stewart平台是一种具有良好隔振性能与高精确度的空间六自由度并联机构^[5].由于Stewart 平台的刚度大、承载能力强，以及可以大大降低精准指向控制过程中系统复杂度等优点，被广泛应用于高灵敏度观测领域，如深空探测、激光通信、微纳定位等领域^[6，7].近年来，针对单一Stewart平台机构的被动隔振与主动控制等方面已有大量研究.焦健^[8]从仿真和实验的角度研究了柔性Stewart平台和6-SPS型Stewart平台的主动隔振与控制.谢溪凌等^[9]提出了一种立方体构型Stewart平台并对其主被动隔振性能进行了仿真与实验分析.吴迎^[10]采用6-SPS型Stewart平台进行主动控制，并设计了改进的鲁棒非线性控制器.Wu等^[11]研究了下平台固定Stewart平台的被动隔振性能，但未考虑下平台自由的情况.在工程实际中，为了抑制柔性帆板受迫微幅振动对高精度指向载荷的影响，基于柔性Stewart平台的六自由度隔振装置^[12]往往安装于在轨运行航天器星体平台和有效载荷之间，以便减弱航天器平台的机械振动对空间精密有效载荷性能的影响.目前，对于这一复杂的带Stewart平台的航天器动力学模型，其下平台刚体运动与柔性附件耦合作用对上平台微振动影响的相关研究仍然不足.
本文将基于多体系统刚柔耦合动力学建模理论，采用单向递推组集的方法，建立带Stewart平台的航天器刚柔耦合动力学模型.为提高计算效率，便于后续航天器实时控制仿真，在有效载荷上平台相对星体下平台做微幅振动的前提下，对Stewart平台支腿的力学模型进行简化处理，通过数值仿真验证本文建立模型的正确性与合理性.此外还将进一步研究柔性帆板的振动与Stewart下平台的运动状态对有效载荷的影响.上述工作将为后续的实时仿真控制提供理论依据与技术支持.
图1 航天器整体模型示意图
Fig.1 Schematic diagram of the overall spacecraft
1 带Stewart平台航天器刚柔耦合动力学建模
航天器模型如图1所示，卫星平台B₁，有效载荷B₂与两组CMG簇B₅，B₆为刚体，CMG簇B₅，B₆与卫星平台B₁的铰点为O₅，O₆.太阳电池帆板B₃，B₄为柔性体，在铰点O₃，O₄处与卫星平台B₁固结.
在刚体B₁，B₂，B₅，B₆的各自质心建立连体基 $C_{i} - x_{i} y_{i} z_{i} （ i = 1，2 ， 5，6 ）$ .在柔性体B₃，B₄未变形的质心建立浮动基 $C_{i} - x_{i} y_{i} z_{i} （ i = 3 ， 4 ）$ .
选取卫星平台B₁的位形 $q_{1} = {(\begin{matrix} r_{1}^{T} φ_{1}^{T} \end{matrix})}^{T}$ ，有效载荷B₂以及两组CMG簇B₅，B₆相对初始静平衡位置的扰动的坐标 $q_{i}^{'} = {(\begin{matrix} r_{i}^{' T} φ_{i}^{' T} \end{matrix})}^{T} （ i = 2，5 ， 6 ）$ ，柔性帆板B₃，B₄的模态坐标 $q_{i} = a_{i} （ i = 3，4 ）$ 为系统广义坐标:

q = (\begin{matrix} r_{1}^{T} φ_{1}^{T} r_{2}^{' T} φ_{2}^{' T} a_{3}^{T} a_{4}^{T} r_{5}^{' T} \end{matrix} φ_{5}^{' T} r_{6}^{' T} {φ_{6}^{' T})}^{T}

(1)

系统广义速度为:

v = (\begin{matrix} {\dot{r}}_{1}^{T} ω_{1}^{T} {\dot{r}}_{2}^{' T} ω_{2}^{' T} {\dot{a}}_{3}^{T} {\dot{a}}_{4}^{T} {\dot{r}}_{5}^{' T} \end{matrix} {ω_{5}^{' T} {\dot{r}}_{6}^{' T} ω_{6}^{' T})}^{T}

(2)

1.1 运动学递推关系描述
（1）有效载荷及CMG组件
对有效载荷B₂与两组CMG簇B₅，B₆，各自质心 $C_{i} （ i = 2，5 ， 6 ）$ 在惯性基下的位置可表示为

r_{i} = r_{1} + ρ_{10}^{C_{1} C_{i}} + r_{i}^{'}

(3)

其中， $ρ_{10}^{C_{1} C_{i}}$ 表示在初始静平衡位置下，星体平台质心C₁指向 $C_{i} （ i = 2，5 ， 6 ）$ 矢径的坐标阵. 物体 $B_{i} （ i = 2，5 ， 6 ）$ 的质心绝对速度，刚体绝对角速度为

\begin{matrix} {\dot{r}}_{i} = {\dot{r}}_{1} - ({\tilde{ρ}}_{10}^{c_{1} c_{i}} + {\tilde{r}}_{i}^{'}) ω_{1} + {\dot{r}}_{i}^{'} \\ ω_{i} = ω_{1} + ω_{i}^{'} \end{matrix}

(4)

由式（4）可得物体质心绝对加速度和刚体绝对角加速度为

\begin{matrix} {\ddot{r}}_{i} = {\ddot{r}}_{1} - ({\tilde{ρ}}_{10}^{c_{1} c_{i}} + {\tilde{r}}_{i}^{'}) {\tilde{ω}}_{1} + {\tilde{ω}}_{1} (ρ_{10}^{c_{1} c_{i}} + r_{i}^{'}) + \\ 2 {\tilde{ω}}_{1} {\dot{r}}_{i}^{'} + {\ddot{r}}_{i}^{'} \\ {\dot{ω}}_{i} = {\dot{ω}}_{1} + {\dot{ω}}_{i}^{'} + {\dot{ω}}_{1} {\dot{ω}}_{i}^{'} \end{matrix}

(5)

定义物体绝对速度阵与绝对加速度阵为

\begin{matrix} v_{i} = [\begin{matrix} {\dot{r}}_{i} \\ ω_{i} \end{matrix}] = B_{i} v \\ {\dot{v}}_{i} = B_{i} \dot{v} + w_{i} \end{matrix}

(6)

其中

w_{i} = [\begin{matrix} {\tilde{ω}}_{1} {\tilde{ω}}_{1} (ρ_{10}^{C_{1} C_{i}} + r_{i}^{'}) + 2 {\tilde{ω}}_{1} {\dot{r}}_{i}^{'} \\ {\tilde{ω}}_{1} ω_{i}^{'} \end{matrix}]

(7)

对于矩阵 $B_{i} （ i = 2，5 ， 6 ）$ ，分别有
$B_{2} = [\begin{matrix} P_{2} I_{6 \times 6} 0_{6 \times (2 s + 6)} 0_{6 \times 6} \end{matrix}]$

\begin{matrix} B_{5} = [\begin{matrix} P_{5} & 0_{6 \times (2 s + 6)} & I_{6 \times 6} & 0_{6 \times 6} \end{matrix}] \\ B_{6} = [\begin{matrix} P_{6} & 0_{6 \times (2 s + 6)} & 0_{6 \times 6} & I_{6 \times 6} \end{matrix}] \end{matrix}

(8)

其中矩阵 $P_{i} （ i = 2，5 ， 6 ）$

P_{i} = [\begin{matrix} I_{3 \times 3} & - ({\tilde{ρ}}_{10}^{c_{1} c_{i}} + {\tilde{r}}^{'}_{i}) \\ 0_{3 \times 3} & I_{3 \times 3} \end{matrix}]

(9)

（2）柔性附件
基于柔性多体系统动力学建模理论^[13]，利用集中质量有限元的方法将柔性体 $B_{i} （ i = 3，4 ）$ 分割成n个单元.考虑第 $k （ k = 1 ， \dots ， n ）$ 个节点，将单元质量m_k集中到节点上. 柔性体 $B_{i} （ i = 3，4 ）$ 上节点k在惯性基下的位置为

r_{i}^{k} = r_{1} + ρ_{i}^{0_{i} k}

(10)

其中相对位置

ρ_{i}^{O_{i} k} = ρ_{1}^{o_{i}} - ρ_{i}^{o_{i}} + ρ_{i}^{k}

(11)

对式（10）求导可得任一节点的绝对速度和绝对加速度为

\begin{matrix} {\dot{r}}_{i}^{k} = {\dot{r}}_{1} - {\tilde{ρ}}_{i}^{o_{i^{k}}} ω_{1} + (Φ_{i}^{k} - Φ_{i}^{o_{i}}) {\dot{a}}_{i} \\ {\ddot{r}}_{i}^{k} = {\ddot{r}}_{1} - {\tilde{ρ}}_{i}^{O_{i k}^{k}} {\dot{ω}}_{1} + (- Φ_{i}^{O_{i}} + Φ_{i}^{k}) {\ddot{a}}_{i} + \\ {\tilde{ω}}_{1} {\tilde{ω}}_{1} {\tilde{ρ}}_{i}^{o_{i}^{k}} + 2 {\tilde{ω}}_{1} (- Φ_{i}^{o_{i}} + Φ_{i}^{k}) {\dot{a}}_{i} \end{matrix}

(12)

从而可得 $B_{i} （ i = 3，4 ）$ 上节点k的绝对速度和绝对加速度的递推矩阵形式

\begin{matrix} {\dot{r}}_{i}^{k} = T_{i 1}^{k} v_{1} + U_{i}^{k} {\dot{a}}_{i} \\ {\ddot{r}}_{i}^{k} = T_{i 1}^{k} {\dot{v}}_{1} + U_{i}^{k} {\ddot{a}}_{i} + w_{i}^{k} \end{matrix}

(13)

其中

\begin{matrix} T_{i 1}^{k} = [\begin{matrix} I_{3} & - {\tilde{ρ}}_{i}^{O_{i} k} \end{matrix}] \\ U_{i}^{k} = Φ_{i}^{k} - Φ_{i}^{O_{i}} \\ w_{i}^{k} = {\tilde{ω}}_{1} {\tilde{ω}}_{1} {\tilde{ρ}}_{i}^{O_{i} k} + 2 {\tilde{ω}}_{1} (- Φ_{i}^{O_{i}} + Φ_{i}^{k}) {\dot{a}}_{i} \end{matrix}

(14)

1.2 动力学建模
（1）支腿简化模型
柔性Stewart 平台模型由基础下平台、支腿和有效载荷上平台构成，并假设所有支腿具有一致性，如图2所示.支腿模型由柔性铰链、压电作动器、阻尼器和刚性支腿组成.刚性支腿与上平台通过上柔性铰链连接，压电作动器与阻尼器通过下柔性铰链连接，压电作动器作动方向与阻尼器作用方向始终保持一致.
为了提高动力学仿真效率，便于控制的实现，本文建立的航天器动力学模型中对上述柔性Stewart平台支腿进行了简化处理，各支腿简化为单向的弹簧阻尼器.由于还需要考虑支腿柔性铰链横向变形的影响，本模型在采用六自由度弹簧阻尼器支腿简化模型外，还附加了补偿刚度矩阵K_c.
图2 柔性Stewart平台支腿模型图
Fig.2 Diagram of flexible Stewart platform leg
首先分别定义P₀，Q₀为Stewart平台上平面P和下平面Q的中心位置，P平面上三个点 $P_{j} （ j = 1 ， \dots ， 3 ）$ 和Q平面上六个点 $Q_{j} （ j = 1 ， \dots ， 6 ）$ 在连体基 $C_{2} - x_{2} y_{2} z_{2}$ 的坐标分别为

\begin{matrix} ρ_{P_{i}}^{'} = ρ_{P_{0}}^{'} + ρ_{i}^{'} \\ ρ_{Q_{j}}^{'} = ρ_{Q_{0}}^{'} + ρ_{j}^{'} \end{matrix}

(15)

支腿 $l_{j} （ j = 1 ， \dots ， 6 ）$ 的矢径（由Q平面指向P平面）在惯性基下的坐标阵为

d_{j} = r_{2} + ρ_{P_{i}} - (r_{1} + ρ_{Q_{j}})

(16)

可以求得支腿 $l_{j} （ j = 1 ， \dots ， 6 ）$ 对上平面的轴向力为

f_{j} = - k (1 - \frac{d_{0}}{\sqrt{d_{j}^{T} d_{j}}}) - c \frac{d_{j}^{T} {\dot{d}}_{j}}{\sqrt{d_{j}^{T} d_{j}}}

(17)

所有支腿给予有效载荷B₂的合力为

F_{2_{-} all} = [\begin{matrix} F_{2} \\ Γ_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{6} f_{i} e_{i} \\ - \sum_{i = 1}^{3} (f_{2 i - 1} {\tilde{e}}_{2 i - 1} ρ_{P_{i}} + f_{2 i} {\tilde{e}}_{2 i} ρ_{P_{i}}) \end{matrix}]

(18)

其中 $e_{i} （ i = 1 ， \dots ， 6 ）$ 为每个支腿所在方向（下端点指向上端点）的单位矢量在惯性基下的坐标阵.该简化模型相比未简化的柔性Stewart支腿模型，没有考虑连接处的柔性铰链的作用，因此需要附加补偿刚度K_c，K_c是一个六阶对角矩阵，前三阶对应平动补偿刚度，后三阶对应转动补偿刚度.最终得到补偿后的支腿给予有效载荷B₂的合力为

{\bar{F}}_{2_{-} all} = [\begin{matrix} {\bar{F}}_{2} \\ {\bar{Γ}}_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{6} f_{i} e_{i} \\ - \sum_{i = 1}^{3} (f_{2 i - 1} {\tilde{e}}_{2 i - 1} ρ_{P_{i}} + f_{2 i} {\tilde{e}}_{2 i} ρ_{P_{i}}) \end{matrix}] + K_{c} [\begin{matrix} r^{'}_{2} \\ φ_{2}^{'} \end{matrix}]

(19)

（2）CMG簇力元描述
在安装点 $O_{i} （ i = 5，6 ）$ 建立坐标系 $O_{i} - x_{i} y_{i} z_{i} （ i = 5，6 ）$ ，方向与惯性系 $C_{0} - x_{0} y_{0} z_{0}$ 一致.由于CMG簇与安装点 $O_{i} （ i = 5，6 ）$ 之间可简化为柔性铰连接且CMG簇相对卫星平台做微幅振动.柔性铰对 $B_{i} （ i = 5，6 ）$ 的合力均由 $B_{i} （ i = 5，6 ）$ 相对静平衡位置的微幅振动产生，其形式如下:

f_{i}^{'} = - K_{i} q_{i}^{'} - C_{i} {\dot{q}}_{i}^{'}, (i = 5,6)

(20)

其中，刚度阵K_i和阻尼阵C_i均为6阶对角矩阵. CMG簇 $B_{i} （ i = 5，6 ）$ 受到的外力合并形式并转移到惯性基下为

F_{i_{-} all} = [\begin{matrix} F_{i} \\ Γ_{i} \end{matrix}] = A_{01} f_{i}^{'}, (i = 5,6)

(21)

（3）动力学方程
根据速度变分原理，系统的速度变分形式的动力学方程为

\begin{matrix} \sum_{i = 1,2, 5,6} [δ {\dot{r}}_{i}^{T} (- m_{i} {\ddot{r}}_{i} + F_{i}) + \\ δ ω_{i}^{T} (- J_{i} {\dot{ω}}_{i} - {\tilde{ω}}_{i} J_{i} ω_{i} + Γ_{i})] + \\ \sum_{i = 3}^{4} \sum_{k = 1}^{n} [δ {\dot{r}}_{i}^{k T} (- m_{i}^{k} {\ddot{r}}_{i}^{k} + F_{i}^{k}) - δ {\dot{ε}}_{i}^{k T} σ_{i}^{k}] = 0 \end{matrix}

(22)

其中， $ε_{i}^{k}$ 与 $σ_{i}^{k}$ 分别为第k单元的应变与应力.由结构动力学知，物体 $B_{i} （ i = 3 ， 4 ）$ 弹性力的总虚功率可表示为

\sum_{k = 1}^{n} δ {\dot{ε}}_{i}^{T^{T}} σ_{i}^{k} = δ {\dot{a}}_{i}^{T} (C_{a i} {\dot{a}}_{i} + K_{a i} a_{i})

(23)

其中，C_ai与K_ai分别为物体B_i的模态阻尼阵与模态刚度阵，分别为s_i×s_i阶常值方阵.当Φ_i采用质量归一正则化模态时

C_{a i} = 2 ζ_{i} ω_{i}

(24)

整理可得

δ v^{T} (- Z \dot{v} - ζ + f^{o} - f^{u}) = 0

(25)

其中

v = {[\begin{matrix} v_{1}^{T} v_{2}^{' T} {\dot{a}}_{3}^{T} {\dot{a}}_{4}^{T} v_{5}^{' T} v_{6}^{' T} \end{matrix}]}^{T}

(26)

对此系统δv为独立变分，可改写为微分方程

Z \dot{v} = - ζ + f^{o} - f^{u}

(27)

广义质量阵为对称阵

Z = [\begin{matrix} Z_{11} & Z_{12} & Z_{13} & Z_{14} & Z_{15} & Z_{16} \\ Z_{21} & Z_{22} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ Z_{31} & 0 & Z_{33} & 0 & 0 & 0 \\ Z_{41} & 0 & 0 & Z_{44} & 0 & 0 \\ Z_{51} & 0 & 0 & 0 & Z_{55} & 0 \\ Z_{61} & 0 & 0 & 0 & 0 & Z_{66} \end{matrix}]

(28)

广义惯性力阵

ζ = {[\begin{matrix} ζ_{1}^{T} ζ_{2}^{T} ζ_{3}^{T} ζ_{4}^{T} ζ_{5}^{T} ζ_{6}^{T} \end{matrix}]}^{T}

(29)

广义外力阵

f^{0} = {[\begin{matrix} f_{1}^{0 T} f_{2}^{0 T} f_{3}^{0 T} f_{4}^{0 T} f_{5}^{0 T} f_{6}^{0 T} \end{matrix}]}^{T}

(30)

广义弹性力阵

f^{u T} = {[\begin{matrix} 0 0 f_{3}^{u T} f_{4}^{u T} 0 0 \end{matrix}]}^{T}

(31)

2 数值仿真
2.1 简化模型有效性验证
为了验证本文建立的支腿简化航天器模型正确性以及合理性，首先建立完整的柔性Stewart平台支腿航天器模型.柔性铰链选用Bushing力元模拟，底部阻尼器采用弹簧阻尼力元模拟，其刚度和阻尼作为弹簧阻尼器的两个参数.压电作动器等效为一轻质刚体并与刚性杆通过Bushing力元连接.本文建立的航天器简化模型参数设定如表1所示，包含了物体 $B_{i} （ i = 1 ， \dots ， 6 ）$ 的质量m_i、惯量J_i，Bushing力元的刚度 $K_{i} （ i = 5，6 ）$ 、阻尼比ξ，补偿刚度K_c，帆板模态阶数 $s_{i} （ i = 5，6 ）$ 以及Stewart平台的各项参数，其中 $K_{i} （ i = 5，6 ）$ 和K_c前三阶表示平移刚度，单位为N/m，后三阶旋转刚度单位为N·m/deg.
设计仿真验证算例，星体平台质心处施加外部正弦激励力如下所示:

\begin{matrix} F_{1 x} = 33 s i n (3 π t), F_{1 y} = 44 s i n (4 π t) \\ f_{1 z} = 55 s i n (5 π t), M_{1 x} = 11 s i n (π t) \\ M_{1 y} = 22 s i n (2 π t), M_{1 z} = 33 s i n (3 π t) \end{matrix}

(32)

如图3和图4所示，对比有效载荷质心三个方向的线位移和姿态角，可以看出本文建立的简化支腿模型与完整柔性Stewart平台模型对比结果良好，验证了本模型简化支腿的正确性以及合理性.
表1 Stewart平台航天器简化模型参数
Table1 Stewart platform spacecraft simplified model parameter
图3 有效载荷线位移对比图
Fig.3 Comparison of displacements of the main platform
图4 有效载荷姿态角对比图
Fig.4 Comparison of attitude angles of the payload platform
如表2所示，设定相同的工况，仿真精度以及仿真步长，仿真时间为60 s，本文的简化模型与未简化的传统模型在计算效率上存在明显差异.采用简化模型时的计算时间为28s，而采用完整柔性Stewart平台航天器动力学模型的仿真时间为69s，仿真效率大大提高.由于本文建立的简化Stewart平台模型在Stewart平台支腿建模时，将刚性支腿、作动器、阻尼器和上下柔性铰之间的连接方式简化为弹簧阻尼力元并附加补偿刚度的形式，大大减少了系统自由度数.因此，在进行微幅振动的仿真计算上，本文建立的动力学简化模型能够显著缩减计算过程，提高计算效率，为后续航天器工程实时控制提供了有效的模型支持.
表2 仿真效率对比
Table2 Simulation efficiency comparison
2.2 有效载荷微幅振动仿真研究
在以往的研究过程中，Stewart平台常常作为一个单独的隔振平台考虑其上平台相对下平台的微幅振动抑制效果.然而实际中，将Stewart平台应用于空间在轨飞行的航天器时，还应考虑柔性帆板扰动的耦合作用以及星体平台的刚体运动，本节将通过分析有效载荷上平台的运动学响应研究上述两种情况对Stewart平台微幅振动产生的影响，进而探究仅对单一Stewart平台构型上下平台间的微幅振动规律进行分析的合理性.
为研究柔性帆板柔性变形的影响，设定工况如表3所示，工况3星体下平台为自由状态，不考虑太阳电池帆板的柔性作用，在星体平台质心处施加激励力，工况4将太阳电池帆板作为柔性体并在每一阶模态上施加模态初始速度 $v_{0 i}$ ，其余条件与工况3相同.其中，施加的外部激励力如式（32）所示，给予工况4柔性帆板的模态初始速度为 $v_{0 i}$ =0.001m/s（i =1，···，5）.
表3 工况设定
Table3 Case setting
图5 星体平台是否运动对有效载荷线位移影响
Fig.5 Comparison of displacements of the payload platform whether the main platform moves
为研究星体平台刚体运动的影响，如表3所示，工况1设定星体下平台为固定状态，不考虑太阳电池帆板的柔性作用，在有效载荷质心处施加激励力，工况2设定星体下平台为自由状态，其余条件与工况1相同.从图5可以发现，当星体平台固定时，有效载荷上平台的平动曲线呈现一定的周期性，由于受到阻尼的作用，振动的幅值不断衰减，而在星体平台自由状态下，有效载荷的运动是自身微振动与星体平台刚体运动耦合的结果，其运动的规律性随时间逐渐降低.从图6可以发现，有效载荷上平台的转动姿态角幅值受星体平台刚体运动的影响较小，姿态角振动频率基本未发生变化.综上可得，有效载荷质心处的平动微振动受星体平台的刚体运动影响较大，与固定状态相比出现了较大的差异，而对姿态角的微振动的影响相对较小.
图6 星体平台是否运动对有效载荷姿态角影响
Fig.6 Comparison of attitude angles of the payload platform whether the main platform moves
为研究柔性帆板柔性变形的影响，设定工况如表3所示，工况3星体下平台为自由状态，不考虑太阳电池帆板的柔性作用，在星体平台质心处施加激励力，工况4将太阳电池帆板作为柔性体并在每一阶模态上施加模态初始速度 $v_{0 i}$ ，其余条件与工况3相同.从图7可以发现，太阳电池帆板的柔性对有效载荷上平台的平动振动影响较小，是因为本身柔性帆板的运动均是小变形范围内的振动.而从图8可以看出，姿态角方面的差异主要体现在x方向扭转角，由于该简化模型的Stewart平台对x方向扭转扰动敏感，并且将支腿作为力元处理，相较于柔性铰链，其由横向变形产生的影响将更为明显，所以产生了较大差异.因此，太阳电池帆板的柔性对有效载荷上平台微振动的影响主要体现在姿态角上，俯仰角差异较大，而对平移微振动的影响并不明显.
图7 帆板柔性对有效载荷线位移影响
Fig.7 Comparison of displacements of the payload platform whether to consider flexibility of solar arrays
综上所述，星体下平台的刚体运动以及太阳电池帆板的柔性效应均会对有效载荷上平台的微振动产生不可忽视的影响.说明当前Stewart平台已有研究忽略了下平台运动状态或者柔性附件的耦合作用前提下，仅对单一Stewart平台构型上下平台间的微振动减振分析并不合理.
图8 帆板柔性对有效载荷姿态角影响
Fig.8 Comparison of attitude angles of the payload platform whether to consider flexibility of solar arrays
3 结论
在工程实际中，为了便于实时控制，需要构建一种对Stewart平台进行等效简化的整体动力学模型，同时为了满足带Stewart平台航天器总体设计的需要，必须针对该构型建立一种高效准确的动力学模型.
本文基于多体系统刚柔耦合动力学建模理论，采用单向递推组集的方法建立了带Stewart平台、柔性帆板、CMG力矩陀螺以及有效载荷的航天器刚柔耦合动力学模型.为便于控制的实现，对Stewart平台的支腿进行了简化，并通过和完整模型对比验证了模型的正确性.研究结果表明，帆板柔性与星体下平台刚体运动对有效载荷上平台的微幅振动有较大的影响.因此在航天器Stewart平台微振动研究与隔振方案设计时，必须对此予以考虑.本研究为带Stewart平台航天器的微振动减振设计与高精度指向提供了有效的技术支撑.
参考文献
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- [8] 焦健.柔性连接主动隔振平台的动力学建模与试验研究[博士学位论文].哈尔滨:哈尔滨工业大学,2018(Jiao J.Dynamic modeling and experimental research on active vibration isolation platform with flexible connection[Ph D Thesis].Harbin:Harbin Institute of Technology,2018(in Chinese))
- [9] 谢溪凌,王超新,陈燕毫,等.一种Stewart隔振平台的动力学建模及实验研究.振动与冲击,2017,36(12):201~207(Xie X L,Wang C X,Chen Y H,et al.Dynamic modeling and experiment of a hybrid passive/active Stewart vibration isolation platform.Journal of Vibration and Shock,2017,36(12):201~207(in Chinese))
- [10] 吴迎.基于Stewart平台的卫星微振动主动控制方法研究及装置优化设计[硕士学位论文].哈尔滨:哈尔滨工业大学,2014(Wu Y.Research on active control methods and optimization design of micro-vibration isolation device on satellite based on Stewart platform[Master Thesis].Harbin:Harbin Institute of Technology,2014(in Chinese))
- [11] Wu Z,Jing X,Sun B,et al.A 6DOF passive vibration isolator using X-shape supporting structures.Journal of Sound and Vibration,2016:90~111
- [12] 王嘉铭,孔永芳,黄海.基于Stewart平台的隔振与抑振协同控制研究.振动与冲击,2019,38(7):186~194(Wang J M,Kong Y F,Huang H.Cooperative control for vibration isolation and suppression based on Stewart platform.Journal of Vibration and Shock,2019,38(7):186~194(in Chinese))
- [13] 洪嘉振.计算多体系统动力学.北京:高等教育出版社,1999:331~332(Hong J Z.Computational dynamics of multibody systems.Beijing:Higher Education Press,1999:331~332(in Chinese))

基本信息

中图分类号: O313.7
文献标识码: A
DOI: 10.6052/1672-6553-2021-081
文章编号: 1672-6553-2022-20(6)-076-09

基金信息

国家自然科学基金资助项目(11772188)；
The project supported by the National Natural Science Foundation of China(11772188)；

引用信息

稿件历史

收稿日期: 2021-11-10

参考文献

[1] 曹登庆,白坤朝,丁虎,等.大型柔性航天器动力学与振动控制研究进展.力学学报,2019,51(1):9~21(Cao D Q,Bai K C,Ding H,et al.Advances in dynamics and vibration control of large-scale flexible spacecraft.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2019,51(1):9~21(in Chinese))
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[13] 洪嘉振.计算多体系统动力学.北京:高等教育出版社,1999:331~332(Hong J Z.Computational dynamics of multibody systems.Beijing:Higher Education Press,1999:331~332(in Chinese))

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带Stewart平台的航天器刚柔耦合动力学建模与仿真分析*

RIGID-FLEXIBLE DYNAMIC MODELING AND SIMULATION OF STEWART PLATFORM SPACECRAFT*

摘要

Abstract

关键词

Keywords

1 带Stewart平台航天器刚柔耦合动力学建模

(1)

(2)

1.1 运动学递推关系描述

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

1.2 动力学建模

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

2 数值仿真

2.1 简化模型有效性验证

(32)

2.2 有效载荷微幅振动仿真研究

3 结论

参考文献

基本信息

基金信息

引用信息

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参考文献

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