引言

Zakharov-Kuznetsov(ZK)方程作为理论物理学中研究非线性波的一类重要方程,首先由Zakharov和Kuznetsov利用磁化等离子体的流体描述得到, 此后Shivamoggi等人也得到了ZK方程^[1-3].一般地,具有幂律n非线性(3+1)维Zakharov-Kuznetsov方程为

其中,α,a₁,a₂,a₃为实常数,${\mathrm{\Delta }}_{a_1,a_2,a_3}=a_1{\partial }_x^2+a_2{\partial }_y^2+a_3{\partial }_z^2$.当α=0时方程退化为线性的.当a₃=0时认为方程退化为(2 + 1)维,若还有n=1,认为是KdV方程的推广形式.

对于n=1,当${\mathrm{\Delta }}_{a_1,a_2,a_3}$=Δ(Laplace算子)时,文献^[4]利用Extended Simplest Equation法讨论了一类行波解,文献^[5]利用F-展开法获得了其它方法不曾给出的形式更丰富的显式行波解,包括双曲函数解和三角函数解;当a₁=b,a₂=a₃=1时,文献^[6]应用经典李群方法得到了其对称和约化方程,通过求解约化方程给出原方程的一些精确解;当α=6,a₁=1,a₂=a₃=3时,文献^[7]提出了Wronski形式展开法,通过该方法求出了双孤子解、双三角函数解、Complexiton解、Matveev解和Jacobi椭圆函数解;当α=1, ${\mathrm{\Delta }}_{a_1,a_2,a_3}$=Δ时,文献^[8]证明了相应初值问题解的指数衰减性,同时指出这个性质与加权Sobolev空间中解的持久性及解的唯一连续性相关;而文献^[9,10]则解决了${\mathrm{\Delta }}_{a_1,a_2,a_3}$=bΔ时可能的行波解.此外文献^[11,12]也进行了深入研究.

对于n=2,当${\mathrm{\Delta }}_{a_1,a_2,a_3}$=Δ时,文献^[13]将其转化为复域中的常微分方程(ODE),并给出相应亚纯行波解;文献^[14]( ${\mathrm{\Delta }}_{a_1,a_2,a_3}$=Δ)基于交换代数除法定理,给出了若干首次积分及对应行波解.对于n为正整数,文献^[15,16]结合动力系统分支理论讨论了一些行波解,但都取积分常数为零.

基于文献[14~16],本文定性分析n=2和${\mathrm{\Delta }}_{a_1,a_2,a_3}$=Δ时的行波解,即(3+1)维修正KdV-Zakharov-Kuznetsov(MKdVZK)方程

假定上述偏微分方程(2)有行波解u=u(ξ),化为一个三阶ODE

其中,($\cdots$)′指$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi }(\cdots ),\xi =x+y+z-ct,c$表示波速.当c=0时原方程不显含时间t.积分一次得二阶ODE

注意C₁为积分常数.引入X=u,Y=u′并改写X和Y为x和y,得到与式(4)等价的平面三次多项式系统

由于一个物理系统对于有界行波解具有实际意义,因此我们常常关注有界解.设φ(ξ)是系统(5)的连续解,且$\underset{\xi \to +\mathrm{\infty }}{lim}\phi \left(\xi \right)=A,\underset{\xi \to -\mathrm{\infty }}{lim}\phi \left(\xi \right)=B.$如果:(1)A=B,则称φ(ξ)为孤立波解;(2)A≠B,则称φ(ξ)为扭结波或反扭结波解.孤立波解对应同宿轨,扭结或反扭结波解对应异宿轨(连接轨),周期波解对应周期轨.因此需利用动力系统分支理论找到系统(5)的同宿轨和周期轨^[17,18]以确定原方程的有界行波解.

一般文献中,对于C₁≠0的情形较少讨论,故本文对此进一步讨论,安排如下:首先分别研究C₁=0和C₁≠0时的相轨线和几类行波解;其次结合Hamilton函数法给出多模态近似解及其数值模拟;最后总结和讨论.

1 C₁=0的情形

显然地,当C₁=0时有平衡点O=(0,0)(原点)和$E_{\mathrm{1,2}}=\left(x_{\mathrm{1,2}},0\right),x_{\mathrm{1,2}}=\pm \sqrt{3c/\alpha }$.后者要求c和α同号.当c=0时,E_1,2退化为O.

先看O的Jacobi矩阵$J\left(\theta \right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ \frac{c}{3}& 0\end{array}\right)$.若c＞0,则O是鞍点;若c＜0,由对称性定理或连续的首次积分$y^2=\frac{1}{3}c{x}^2-\frac{1}{18}\alpha x^4+h$可知O是中心^[19],其中h是积分常数;若c=0,则O是退化的.注意这个首次积分涵盖了文献^[14]的结果.

再看E_1,2的Jacobi矩阵$J\left(E_{\mathrm{1,2}}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ \frac{-c}{3}& 0\end{array}\right)$.若c＜0,E_1,2是鞍点;若c＞0,E_1,2是中心.

基于以上分析,分情况讨论闭轨的存在性.不妨设相轨线为

(1)c,α＞0

此时,由奇点指标可知,闭轨所围奇点仅有三种可能:{O,E₁,E₂},E₁或E₂.常数h满足h≥h₀=-c²/2α(h₀＜0).当h₀＜h＜0时有两条分别围绕E₁和E₂的闭轨;当h=0时仅有过O的同宿闭轨Γ(0)且围绕E₁和E₂;当h＞0时仅有一条围绕奇点O,E₁和E₂的闭轨.

沿同宿轨Γ(0)的行波解为

C₂为积分常数.对于一般的h,沿闭轨Γ(h)的行波解形式上为Jacobi椭圆余弦函数

其中,$A^2=\frac{3}{\alpha }\left(c+\sqrt{2\alpha h+c^2}\right),k^2=\frac{\sqrt{2\alpha h+c^2}}{3}$及$m^2=\frac{1}{2}+\frac{c}{2\sqrt{2\alpha h+c^2}}$.显然式(7)是式(8)的特例.

(2)c,α＜0

由奇点指标可知闭轨内部只有奇点O.常数h无限制,但h₀＞0.当h=h₀时有同宿轨Γ(h₀);当0＜h＜h₀时有围绕O的闭轨;当h=0时上述闭轨退化为奇点O;当h＜0和h＞h₀时无闭轨.

沿同宿轨Γ(h₀)的行波解为

对于h∈(0,h₀),沿闭轨Γ(h)的行波解形式上为Jacobi椭圆正弦函数

其中,$A^2=\frac{3}{\alpha }\left(c+\sqrt{2\alpha h+c^2}\right),m^2=\frac{{\left(c+\sqrt{2\alpha h+c^2}\right)}^2}{-2\alpha h}$及$k^2=\frac{1}{6}\left(\sqrt{2\alpha h+c^2}-c\right).$显然式(9)是式(10)的特例.

(3)c＞0,α＜0

此时不存在闭轨,因唯一的奇点O是鞍点.

(4)c＜0,α＞0

此时有一族闭轨围绕O,但h≥0.当h=0时闭轨Γ(h)退化为奇点O.同上有行波解(8).

(5)c=0,α＞0

此时有一族闭轨围绕奇点O,同样h≥0.当h=0时闭轨Γ(h)退化为奇点O.通过虚模数变换可得行波解

其中,实数模$m=\sqrt{\frac{\alpha }{\alpha +18h}},{\xi }_1={\left(\frac{\alpha h}{18}\right)}^{\frac{1}{4}}\left(\xi +C_2\right)$,${\xi }_2=\sqrt{\frac{\alpha +18h}{18h}}{\xi }_1$.式(11)的确为一个实函数.

(6)c=0,α＜0

此时由对称性和$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$定号知无闭轨.

总之,在情形(1)、(2)、(4)、(5)下可有闭轨(周期解)或有界行波解.图1(a)-图1(f)描述了几种相轨线.

2 C₁≠0的情形

此时O不是平衡点.设平衡点为E_*=(x_*,0),其中x_*满足三次方程

引入方程(12)的判别式$p_x=\frac{-c}{3\alpha },q_x=\frac{-9C_1}{\alpha }$及

以下对Δ_x分情况讨论.此外式(3)有首次积分

其中$f_h\left(x\right)=\frac{1}{3}c{x}^2-\frac{1}{18}\alpha x^4+2C_{1}x+h$为辅助函数.而相轨线记为$\mathrm{\Gamma }\left(h\right)=\left\{\right(x,y)\mid H(x,y)=0\}$.

2.1 Δ_x＞0的情形

此时方程(12)有一个实根和两个复根,且要求:①$81C_1^2\alpha$＞$4c^3$,α＞0;②$81C_1^2\alpha$＜$4c^3$,α＜0.

对于①,显然Jacobi矩阵为$J\left(E_{*}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ \frac{1}{3}\left(c-\alpha x_{*}^2\right)& 0\end{array}\right)$,故$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}J\left(E_{*}\right)=\frac{1}{3}\left(\alpha x_{*}^2-c\right)\ne 0\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}J\left(E_{*}\right)=\frac{1}{3}\left(\alpha x_{*}^2-c\right)\ne 0$.此外$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}J\left(E_{*}\right)>0$,否则当$\alpha x_{*}^2<c$时由方程(12)有

故C₁与x_*异号.但这不可能,因此唯一的平衡点E_*是中心,有周期解.

此外,当C₁＞0时E_*位于x正半轴上,反之则位于x负半轴上.而h有负的下限h_m,利用方程组f(x)=f_h(x)=0及Sylvester结式法可知,h_m满足三次方程

显然方程(16)的判别式为${\mathrm{\Delta }}_R=\frac{{\alpha }^4{\mathrm{\Delta }}_x^3{C}_1^2}{36}$,故h_m唯一.当h=h_m时闭轨退化为奇点E_*.

对于②,类似可知唯一的平衡点E_*是鞍点,注意假设$\alpha x_{*}^2$＞c时C₁与x_*同号.参数h无限制,但当h=h₀＞0时有过E_*的同宿轨,而h₀满足三次方程(16).

图2给出了上述几种情形的相轨线.

最后考虑有界行波解和周期解.由方程(16)中的结式可知,当h≠h_m时f_h(x)=0有两个互异单重实根及一对共轭复根.先作变换$w={\left(\frac{\left|\alpha \right|}{18}\right)}^{\frac{1}{4}}u,\eta ={\left(\frac{\left|\alpha \right|}{18}\right)}^{\frac{1}{4}}\xi$,化为标准形式

这样有界行波解形式上为

相应系数为

$\begin{array}{c}A=\frac{1}{2}\left(w_1+w_2\right)C-\frac{1}{2}\left(u_1-w_2\right)D\\ B=\frac{1}{2}\left(w_1+w_2\right)D-\frac{1}{2}\left(w_1-w_2\right)C\\ C=w_1-l-\frac{s}{m_1},D=w_1-l-s{m}_1\\ E=\frac{s^2+\left(w_1-l\right)\left(w_2-l\right)}{s\left(w_1-w_2\right)},\\ m_1=E+a_1\sqrt{E^2+1},\\ m^2=\frac{1}{1+m_1^2},\kappa =\frac{\sqrt{2a_{2}s{m}_1\left(w_1-w_2\right)}}{2m{m}_1}\end{array}$

而$a_j^2=1(j=\mathrm{0,1},2),C_2$是积分常数.

2.2 Δ_x=0的情形

此时方程(12)有两个不相等的实根,无复根,且$C_1=\pm \frac{2c}{9}\sqrt{c/\alpha }$,要求$\frac{c}{\alpha }>0$.判别式Δ_R=0表明仅有两个不同的临界值h₀和h_m.

先考虑$C_1=\frac{-2c}{9}\sqrt{c/\alpha }$显然有双曲平衡点$E_{*}^{\left(1\right)}=(-2\sqrt{c/\alpha },0)$(c＞0时为中心,c＜0时为鞍点)和退化平衡点$E_{*}^{\left(2\right)}=(\sqrt{c/\alpha },0).$取变换$u=x-x_{*},v=y,x_{*}=\sqrt{c/\alpha }$和$u=A{u}_1,v=A{v}_{1}A=\frac{3}{-\alpha x_{*}}$,可得系统

上述系统等价于^[20]

因此$E_{*}^{\left(2\right)}$是余维至少为4的尖点.

此时分两种情况考虑:①c,α＞0;②c,α＜0.对于①,要求$h⩾h_m=\frac{-4c^2}{3\alpha }$.当$h>h_0=\frac{c^2}{6\alpha }$时闭轨Γ(h)包围$E_{*}^{\left(1\right)}=(-2\sqrt{c/\alpha },0)$和退化平衡点${\mathit{E}}_{*}^{\left(2\right)}=(\sqrt{c/\alpha },0)$.当h=h₀时有过平衡点$E_{*}^{\left(2\right)}$的同宿轨Γ(h₀);当h_m＜h＜h₀时闭轨Γ(h)仅包围平衡点$E_{*}^{\left(1\right)}$;当h=h_m时闭轨Γ(h)退化为平衡点$E_{*}^{\left(1\right)}$.对于②,无闭轨,但当h=h_m时有过平衡点$E_{*}^{\left(1\right)}$的同宿轨;当h=h₀时有过平衡点$E_{*}^{\left(2\right)}$的同宿轨.

至于$C_1=\frac{2c}{9}\sqrt{c/\alpha }$,有余维至少为4的尖点$E_{*}^{\left(1\right)}=(-\sqrt{c/\alpha },0)$和双曲平衡点$E_{*}^{\left(2\right)}=(2\sqrt{c/\alpha },0)$(c＞0时为中心,c＜0时为鞍点$)$,再由对称性可得相应结论.

图3给出了上述几种情形的相轨线.

最后看有界行波解.当h=h₀时方程f_h(x)=0有一个三重实根$x=\pm \sqrt{c/\alpha }$和一个单重根$x=\mp 3\sqrt{c/\alpha }$,沿同宿轨Γ(h₀)的行波解为

其中C₂是积分常数.这表明了同宿轨,因为$\underset{\xi \to \mathrm{\infty }}{lim}\left(u\left(\xi \right),u^{\mathrm{\text{'}}}\left(\xi \right)\right)=\left(\pm \sqrt{\frac{c}{\alpha }},0\right)$.

当h≠h₀和h_m时,有界行波解形式上同式(18).

2.3 Δ_x＜0的情形

此时有三个两两不相等的实根,而c与α同号,只需考虑以下两种情形即可

①$81C_1^2\alpha >4c^3,\alpha <0(c<0)$

②$81C_1^2\alpha <4c^3,\alpha >0(c>0)$

不妨设$C_1^2=\frac{k{c}^3}{\alpha }\left(k<\frac{4}{81}\right),x=\sqrt{\frac{c}{\alpha }}z$,则方程(12)化为$f_1^{\pm }\left(z\right)=\frac{1}{3}z-\frac{1}{9}{z}^3\pm \sqrt{k}=0$,正号对应c＞0.由零点定理知三个实根$z_{*}^{\left(1\right)}<-1,z_{*}^{\left(2\right)}\in (-\mathrm{1,0}),z_{*}^{\left(3\right)}>1$,因此c＞0时平衡点$E_{*}^{\left(1\right)}$和$E_{*}^{\left(3\right)}$是中心,而$E_{*}^{\left(2\right)}$是鞍点;当c＜0时平衡点$E_{*}^{\left(1\right)}$和$E_{*}^{\left(3\right)}$是鞍点,而$E_{*}^{\left(2\right)}$是中心.不妨设轨线Γ(h)过平衡点$E_{*}^{\left(j\right)}$的临界值为h_j,显然h_j应满足方程(16),j=1,2,3.判别式Δ_R表明有三个临界值h_j.

先看c＞0.此时$h⩾h_m=min\left\{h_1,h_3\right\}$,而h₂＞h₁,h₂＞h₃.但当C₁＞0时,作差有

由于$z_{*}^{\left(3\right)}<\sqrt{3},z_{*}^{\left(1\right)}>-\sqrt{3}$及$z_{*}^{\left(1\right)}+z_{*}^{\left(3\right)}>0$,因此式(22)的中括号内是大于零的,故h₁＞h₃.但h₁可正可负.反之,当C₁＜0时h₁＜h₃.

当h＞h₂时有一条闭轨围绕三个奇点;当$h\in \left(max\left\{h_1,h_3\right\},h_2\right)$时有两条分别围绕$E_{*}^{\left(1\right)}$和$E_{*}^{\left(3\right)}$的闭轨;当$h_m<h<max\left\{h_1,h_3\right\}$时有一条闭轨(C₁＞0时围绕$E_{*}^{\left(3\right)}$;C₁＜0时围绕$E_{*}^{\left(1\right)}$).至于c＜0,h无限制,但h₂＜h₁,h₂＜h₃.如果C₁＞0,式(22)的中括号内化为

简记$z_{*}^{\left(j\right)}$为z_j.平移等值线可知,当函数$g(x,y)=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)-\frac{1}{3}xy$过边界点$(\sqrt{3},\sqrt{3})$时,在矩形区域$\frac{3}{2}⩽x⩽\sqrt{3},1⩽y⩽\sqrt{3}$上取得最大值,恰为2.但z₁+z₃＜0,因此式(22)的中括号内是大于零的,故h₁＞h₃.反之,当C₁＜0时h₁＜h₃.仅当$h\in \left(h_2,\right.\left.min\left\{h_1,h_3\right\}\right)$时有围绕中心$E_{*}^{\left(2\right)}$的闭轨.

统一看临界情形轨线.当h=h_j时,若$E_{*}^{\left(j\right)}$为中心,则一族闭轨退化为$E_{*}^{\left(j\right)}$;反之,若$E_{*}^{\left(j\right)}$为鞍点,则轨线退化为过该点的同宿轨(鞍点的分界线).

图4给出了上述几种情形的相轨线.奇点$E_{*}^{\left(j\right)}$用E_j表示.

最后看有界行波解.同样地当$h\ne h_j(\forall j)$时,f_h(x)=0无重根.对于c＞0,当h＞h₂或h∈ $\left(h_m,max\left\{h_1,h_3\right\}\right)$时,有界行波解形式上同式(18).

当$c>0,h\in \left(max\left\{h_1,h_3\right\},h_2\right)$时,存在有界行波解.改写式(17)为标准形式

其中w₁＞w₂＞w₃＞w₄.一个有界行波解形式上为$u\left(\xi \right)={\left(\frac{18}{\left|\alpha \right|}\right)}^{\frac{1}{4}}w\left(\eta \right)$,其中

Jacobi椭圆正弦函数为

$S_2=\mathrm{s}\mathrm{n}\left[\frac{\sqrt{\left(w_1-w_3\right)\left(w_2-w_4\right)}}{2}\left(\eta +C_2\right),m_2\right]$, 模数为$m_2=\sqrt{\frac{\left(w_1-w_2\right)\left(w_3-w_4\right)}{\left(w_1-w_3\right)\left(w_2-w_4\right)}}.$至于h=h_j,改写为

单重实根x_b＞x_c,有界行波解形式上为

其中$\left.E=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[\sqrt{\frac{\alpha }{18}\left(x_a-x_c\right)\left(x_b-x_a\right)}\left(\xi +C_2\right)\right)\right].$而C₂为积分常数.

3 Hamilton函数法求多模态近似解

当奇点为中心时,文献^[21]利用Hamilton函数法给出一个强非线性二阶微分方程的多模态近似解以反应周期性.以上可以看到,有界行波解或周期解常以Jacobi椭圆函数的复杂形式出现,因此需要一种近似方法来快速反应精确解.

以C₁=0,c,α＞0为例.取Hamilton函数$H(x,y)=f_h\left(x\right)-y^2$,设多模态行波近似解$u\left(\xi \right)=\sum _{i=0}^2{a}_i\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(2\mathrm{i}w\xi \right)$,初值条件为$u\left(0\right)=A,u^{\mathrm{\text{'}}}\left(0\right)=0$,在$\left(0,\frac{T}{4}\right)$上对ξ积分有不变量^[22]

再求偏导有$\frac{\partial }{\partial a_i}\left(\frac{\partial \stackrel{-}{H}}{\partial f}\right)=0(i=\mathrm{0,1},2)$,即方程组

$4\alpha a_0^3+6\alpha a_0{a}_1^2+6\alpha a_0{a}_2^2+3\alpha a_1^2{a}_2-12c{a}_0=0$(29a)

$\begin{array}{c}\left[\left(\frac{-1}{4}{a}_1^2-a_0^2-a_0{a}_2-\frac{1}{2}{a}_2^2\right)\alpha +c\right]f^2+\\ 12=0\end{array}$(29b)

$\begin{array}{c}\left\{\frac{-1}{4}\alpha a_2^3\right.+\left[\left(-a_0^2-\frac{1}{2}{a}_1^2\right)\alpha +c\right]a_2-\\ \left.\frac{1}{2}\alpha a_0{a}_1^2\right\}{f}^2+48a_2=0\end{array}$(29c)

最后解出系数a_i及$f=\frac{1}{w}$.以下给出数值实例.

例1:取参数c=α=1及初值A=1,由方程(29)解得系数

a₀=1.554207050,a₁=-0.6152063185,a₂=0.06099926808,f=2.732773277.图5(a)中分别绘出了多模态近似解(黑色实线)和解析形式解(8)(红色点线)曲线,在0≤ξ≤70内两者几乎重合,近似程度非常好.

其次,以C₁,α,Δ_x＞0为例.Hamilton函数同上,类似的有代数方程组.以数值实例来说明.

例2:取c=α=k=A=1,由方程(29)解得系数

a₀=2.146903270,a₁=-1.284554716, a₂=0.1376514457,而f=1.665373391.图5(b)中绘出了多模态近似解(红色点线)和解析形式解(黑色实线)曲线,近似程度同样非常好.

除了以上形式多模态近似解外,对于C₁=0,c=-1,α=1,可取多模态近似解为$u\left(\xi \right)=\sum _{i=1}^3{a}_i\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[\right(2i-1\left)w\xi \right]$.总之,Hamilton函数法所得近似解能快速反映出周期解的性态,是值得推广的方法.

4 结论

本文主要定性分析了非线性(3+1)维修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的行波解和相轨线情况.与已有文献相比,结合平衡点E_*所满足三次方程的判别式,我们深入研究参数C₁≠0的情形,并描述了相轨线的走向,同时形式上给出了若干有界行波解的表达式.今后,可深入研究广义ZK方程,以及高维和分数阶情形^{[15,16,23,24]}.总之,这是一个值得继续研究的方向.

参考文献