不可压缩超弹性球体中微孔运动的分岔和混沌

马敏富，赵振涛，陈威屹，袁学刚; Ma Minfu; Zhao Zhentao; Chen Weiyi; Yuan Xuegang

引 en

不可压缩超弹性球体中微孔运动的分岔和混沌^*

马敏富¹
机构：
1. 北方民族大学数学与信息科学学院,银川 750021
×
，赵振涛²
机构：
2. 大连民族大学机电工程学院,大连 116600
×
，陈威屹¹
机构：
1. 北方民族大学数学与信息科学学院,银川 750021
×
，袁学刚^1,3
机构：
1. 北方民族大学数学与信息科学学院,银川 750021
3. 大连民族大学理学院,大连 116600
×

1. 北方民族大学数学与信息科学学院,银川 750021；
2. 大连民族大学机电工程学院,大连 116600；
3. 大连民族大学理学院,大连 116600；

Bifurcation and Chaos of Micro-Void Motion in Incompressible Hyperelastic Sphere^*

Ma Minfu¹
Affiliation：
1. College of Mathematics and Information, North Minzu University，Yinchuan 750021 , China
×
，Zhao Zhentao²
Affiliation：
2. College of Mechanical and Electronic Engineering, Dalian Minzu University，Dalian 116600 , China
×
，Chen Weiyi¹
Affiliation：
1. College of Mathematics and Information, North Minzu University，Yinchuan 750021 , China
×
，Yuan Xuegang^1,3
Affiliation：
1. College of Mathematics and Information, North Minzu University，Yinchuan 750021 , China
3. School of Science, Dalian Minzu University, Dalian 116600 , China
×

1. College of Mathematics and Information, North Minzu University，Yinchuan 750021 , China；
2. College of Mechanical and Electronic Engineering, Dalian Minzu University，Dalian 116600 , China；
3. School of Science, Dalian Minzu University, Dalian 116600 , China；

通讯作者:

袁学刚,E-mail:yxg1971@163.com

中图分类号:O322

文献标识码:A

文章编号:1672-6553-2024-22(1)-079-008

DOI:10.6052/1672-6553-2023-027

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目录contents

摘要 Abstract
关键词 Keywords
1 模型建立
1.1 控制方程
1.2 模型求解
2 常值载荷（ $\tilde{η} = 0$ ）
2.1 平衡点及其定性分析
2.2 微孔的周期运动
3 周期扰动载荷（ $\tilde{η} > 0$ ）
3.1 微孔的拟周期运动
3.2 微孔的混沌运动
4 结论
参考文献

摘要

针对一类径向横观各向同性不可压缩neo-Hookean材料组成的球体,研究了周期扰动载荷作用下球体中心处微孔的动力学行为.根据平衡微分方程和初边值条件等导出描述微孔径向对称运动的强非线性的非自治常微分方程,通过对微分方程解的定性分析,讨论了微孔的定性行为：(1) 在常值载荷作用下,讨论了材料参数和结构参数对系统平衡点的影响,特别分析了微孔的二次转向分岔；通过对系统势阱的分析,讨论了微孔在常值载荷作用下的周期和振幅跳跃现象.(2) 在周期扰动载荷作用下,利用时程曲线,Poincaré截面和最大Lyapunov指数分别讨论了二次转向分岔情形下微孔的拟周期和混沌运动,给出了系统产生混沌的条件,并进一步分析了周期扰动载荷对微孔混沌运动的影响.

Abstract

The dynamical behaviors are studied for a sphere with a micro-void at the center under periodic perturbation loads, where the sphere is composed of a class of radially transversely isotropic incompressible neo-Hookean materials. A strongly nonlinear nonautonomous ordinary differential equation describing the radially symmetric motion of the micro-void is derived in terms of the equilibrium differential equation and initial-boundary conditions. Through qualitatively analyzing the solutions of the differential equation, some interesting qualitative behaviors of the micro-void are discussed. (1) For constant loads, the effects of material parameters and structural parameters on equilibrium points of the system are presented, and the bifurcation behaviors, especially the secondary turning bifurcation of the micro-void are analyzed. By analyzing the well potentials, the phenomena of period and amplitude jump of the micro-void are conducted. (2) For periodic perturbation loads, the quasiperiodic and chaotic motions of the micro-void are discussed in terms of the secondary turning bifurcation by using the time response curves, Poincaré sections and the maximal Lyapunov characteristic exponents, the existence conditions of chaos are given, and the effects of periodic perturbation loads on the chaotic motions of the micro-void are further analyzed.

关键词

neo-Hookean类材料；微孔；周期扰动载荷；分岔和混沌

Keywords

neo-Hookean materials ； micro-void ； periodic perturbation load ； bifurcation and chaos

引言
橡胶、类橡胶等是典型的超弹性材料，被广泛应用于汽车、建筑、电子、航空航天等诸多领域，具有很好的减震或吸能作用^[1，2].作为一种具有储能函数的非线性弹性物质，其本构关系可以完全由它们的应变能函数给出，如neo-Hookean、Ogden、Mooney-Rivlin和Yeoh材料模型等^[3].特别地，neo-Hookean材料模型因其形式简单以及无条件稳定性等优点，为非线性弹性体动力学建模和求解提供了很大的便利^[4，5].
当非线性材料和结构受到外部拉伸时，会出现空穴的生成、增长以及相邻空穴的贯通等现象，由此引起了众多学者的关注.其中，Polignone等^[6]基于超弹性材料组成的球体，研究了微孔的生成和增长以及微孔的静态分岔问题.Yuan等^[7]推导出微孔运动的二阶非线性常微分方程，并分析了微分方程解的定性性质，讨论了材料参数对微孔进行周期振荡的影响.Tang等^[8]基于非线性动力学理论，研究了粘弹性材料组成的结构稳定性问题.任九生等^[9]研究了周期载荷作用下不可压缩超弹性球体中的空穴生成问题，并对系统进行数值模拟，得出周期载荷的平均载荷与空穴运动之间的关系.Yuan等^[10]对于超弹性材料组成的球形薄膜，推导出描述薄膜径向对称运动的二阶非线性常微分方程.详细讨论了在周期阶梯载荷作用下球形薄膜随时间产生的非线性周期振动并给出相应的数值模拟.近年来，随着非线性动力学理论的发展以及数值计算的进步，使得与超弹性材料相关的更复杂问题的求解成为可能.张弛等^[11]研究了受轴向激励弹性支承梁的稳定性问题，在非线性弹性理论框架下推导控制方程，并对其进行数值模拟.Xu等^[12]研究了一类不可压缩热超弹性材料组成的圆柱体的有限变形问题.利用边界条件等推导出隐式解析解，数值算例表明，圆柱体中部的径向变形几乎是均匀的，当轴向载荷较大时，两端附近的变形沿轴向变化较明显.曾青等^[13]针对一类拟周期激励的分段非线性轧机辊系统，发现存在多种路径可以产生奇异非混沌吸引子并进行了证明，该研究为非光滑动力学系统中的混沌控制提供了相应的理论依据.Aranda-Iglesias等^[14]研究了超弹性材料组成的圆柱结构的轴对称非线性振动，证明了圆柱壳的运动可以由周期到拟周期和混沌的变化，并讨论了参数对结构非线性振动的影响.张文等^[15]针对一类单自由度齿轮动力学系统，将其动力学方程简化为二阶微分方程，通过打靶法得到嵌入混沌吸引子中的不稳定周期轨道，并利用OGY方法实现了混沌控制.同时考虑材料和几何非线性，Zhao等^[16]研究了动态加载下粘-超弹性球壳的非线性动力学行为，根据变分原理和有限粘弹性理论推导出描述粘-超弹性球壳径向对称运动的耦合的积分-微分型方程，并发现材料的粘性系数改变时，系统的共振频率发生偏移，混沌和多周期振动交替出现.随后，Zhao等^[17]又研究了动态载荷和结构阻尼对不可压缩超弹性球壳的非线性动力学行为的影响，并使用Melnikov方法对混沌运动进行了分析.此外，李双宝等^[18]介绍了非光滑系统全局动力学Melnikov方法的研究进展.李冠强等^[19]基于Duffing振子系统，对控制方程进行数值模拟，进一步揭示了对称系统到非对称系统的演变过程.
本文研究了周期扰动载荷作用下微孔的复杂动力学行为.首先，针对一类径向横观各向同性不可压缩超弹性neo-Hookean材料组成的球体，建立描述内部微孔径向对称运动的数学模型，并将其约化为二阶非线性常微分方程；其次，讨论了材料和结构参数对非线性系统平衡点的影响，并进行了定性分析；最后，结合数值算例分析了周期扰动载荷下微孔的拟周期和混沌运动.
1 模型建立
1.1 控制方程
基于弹性力学理论，描述弹性体运动的平衡微分方程为：

\nabla σ + ρ f = ρ \ddot{x}

(1)

其中，f是体积力矢量，ρ是质量密度，x=x（X，t）是与物质点X相关的位置向量， $\dot{x} （ X ， t ） = \frac{\partial}{\partial t} x （ X ， t ）$ 和 $\ddot{x} （ X ， t ） = \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} x （ X ， t ）$ 是相应的速度和加速度；同时， $σ = J^{- 1} F \frac{\partial W}{\partial F}$ 是Cauchy应力张量，F是变形梯度张量，W=W（F）=W（λ₁，λ₂，λ₃）是与弹性体材料有关的应变能函数，λ₁，λ₂，λ₃是F的三个主值，且 $J = d e t F = \sqrt{I_{3}} = λ_{1} λ_{2} λ_{3}$ .
本文研究了在一类周期扰动载荷作用下，超弹性球体中心处微孔的径向对称运动.令（R，Θ，Φ）和（r，θ，φ）分别为初始构型和当前构型下的球体坐标.特别地，在球对称变形假设下，式（1）可以简化为如下的偏微分方程

\begin{matrix} \frac{\partial σ_{r r} (r, t)}{\partial R} {(\frac{\partial r}{\partial R})}^{- 1} + \\ \frac{2}{r} [σ_{r r} (r, t) - σ_{θ θ} (r, t)] = ρ \frac{\partial^{2} r}{\partial t^{2}} \end{matrix}

(2)

在式（2）中，σ_rr（r，t），σ_θθ（r，t）是Cauchy应力张量的两个主值，分别为

\begin{matrix} σ_{r r} (r, t) = λ_{1} \frac{\partial W}{\partial λ_{1}} - p (r, t) \\ σ_{θ θ} (r, t) = λ_{2} \frac{\partial W}{\partial λ_{2}} - p (r, t) \end{matrix}

(3)

其中，p（r，t）是待定的静水压力，F的主值由下式给出

λ_{1} = \frac{\partial r (R, t)}{\partial R}, λ_{2} = λ_{3} = \frac{r (R, t)}{R}

(4)

本文假设球体由一类径向横观各向同性neo-Hookean材料组成，相应的应变能函数为^[6]

\begin{matrix} W (λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}) = \frac{μ}{2} [(λ_{1}^{2} + λ_{2}^{2} + λ_{3}^{2} - 3) + \\ a (λ_{1}^{4} - 2 λ_{1}^{2} + 1)] \end{matrix}

(5)

其中μ是剪切模量，a≥0是反映各向异性程度的无量纲材料参数.
球体的外表面受到径向周期性扰动，并且微孔表面无约束，相应的应力边界条件为

\begin{matrix} σ_{r r} (A, t) = P (t) {[\frac{A}{r (A, t)}]}^{2}, \\ σ_{r r} [r (ε, t), t] = 0 \end{matrix}

(6)

其中，P（t）=p₀+ηsinωt是与时间t相关的径向扰动载荷，p₀为常值载荷，η为外激励幅值，ω为扰动载荷的外激励频率，A和ε分别表示球体的外表面半径和微孔的初始半径.
球体在时间t=0时处于未变形状态，则初始条件可以表示为

r (R, 0) = R, \dot{r} (R, 0) = 0

(7)

其中， $\dot{r}$ 表示r（t）关于时间t的一阶导数.
因此，描述在径向周期扰动载荷作用下超弹性球体的径向对称运动的数学模型由式（2）~式（7）给出.
1.2 模型求解
根据材料的不可压缩约束，有 $\partial r （ R ， t ） / \partial R = R^{2} / r^{2} （ R ， t ）$ .等式两边关于R积分，可以得到

r = r (R, t) = {[R^{3} + r_{1}^{3} (t) - ε^{3}]}^{1 / 3}, t ⩾ 0

(8)

其中r₁（t）=r（R₁，t）≥0是与微孔半径相关的待定函数.根据式（7）和式（8），有

r_{1} (0) = ε, {\dot{r}}_{1} (0) = 0

(9)

对球体的平衡微分方程以及初边值条件进行整理可得

\begin{matrix} P (t) {(\frac{A}{r_{2}})}^{2} = ρ [r_{1} (1 - \frac{r_{1}}{r_{2}}) {\ddot{r}}_{1} + \\ (\frac{r_{1}^{4}}{2 r_{2}^{4}} - \frac{2 r_{1}}{r_{2}} + \frac{3}{2}) {({\dot{r}}_{1})}^{2}] - K (r_{2}, r_{1}) \end{matrix}

(10)

其中 $r_{2} = r （ A ， t ）， K (r_{2} ， r_{1}) = 2 μ \int_{r_{1}}^{r_{2}} [2 a κ^{- 8} + （ 1 - 2 a ） κ^{- 4} - κ^{2}] d ξ / ξ ， κ = r / R$ .式（10）决定了微孔半径r₁（t）随时间的变化规律.
为了便于定性分析，引入如下形式的无量纲变换

\begin{matrix} x (t) = r_{1} (t) / A, δ = {(A^{3} - ε^{3})}^{1 / 3} / A, \\ P (τ) = P (t) / μ, P = p_{0} / μ, \tilde{η} = η / μ, \\ τ = t \sqrt{μ / ρ A^{2}}, \tilde{ω} = ω \sqrt{ρ A^{2} / μ} \end{matrix}

(11)

其中，τ为无量纲时间.根据式（10），式（11），得到如下形式的无量纲方程

\begin{matrix} [x - x^{2} {(δ^{3} + x^{3})}^{- 1 / 3}] \ddot{x} + \\ [\frac{1}{2} x^{4} {(δ^{3} + x^{3})}^{- 4 / 3} - 2 x {(δ^{3} + x^{3})}^{- 1 / 3} + \frac{3}{2}] {\dot{x}}^{2} + \\ H (x, δ, P, \tilde{η}, \tilde{ω}) = 0 \end{matrix}

(12)

其中

\begin{matrix} H (x, δ, P, \tilde{η}, \tilde{ω}) = - {(x^{3} + δ^{3})}^{- 2 / 3} P (τ) + \\ 2 \int_{{[x^{3} / (1 - δ^{3})]}^{1 / 3}}^{(x^{3 + δ^{3}) 1 / 3}} \frac{2 a κ^{- 9} + (1 - 2 a) κ^{- 5} - κ}{κ^{3} - 1} d κ \end{matrix}

(13)

其中， $\ddot{x}$ 表示x关于无量纲时间τ的二阶导数.此外，初始条件（9）变为

x (0) = {(1 - δ^{3})}^{1 / 3}, \dot{x} (0) = 0

(14)

2 常值载荷（ $\tilde{η} = 0$ ）
当 $\tilde{η} = 0$ 时，P（τ）=P，即微孔仅受常值载荷的作用，式（12）是完全可积的Hamilton系统.令y= $\dot{x}$ ，式（12）转化为如下形式

(\binom{\dot{x}}{\dot{y}}) = (\binom{y}{\frac{- (\frac{1}{2} x^{4} {(δ^{3} + x^{3})}^{- 4 / 3} - 2 x {(δ^{3} + x^{3})}^{- 1 / 3} + \frac{3}{2}) y^{2} - H (x, δ, P, 0, \tilde{ω})}{x - x^{2} {(δ^{3} + x^{3})}^{- 1 / 3}}})

(15)

2.1 平衡点及其定性分析
令 $\dot{x}$ =0， $\dot{y}$ =0，由式（15）可知系统的平衡点由 $H （ x ， δ ， P ， 0 ， \tilde{ω} ） = 0$ 确定.设 $H （ x ， δ ， P ， 0 ， \tilde{ω} ） = 0$ 的解为x_i，则（x_i，0）为系统的平衡点.特别地，当ε=0时，δ=1，通过 $H （ x ， 1 ， P ， 0 ， \tilde{ω} ） = 0$ 可以描述实心球中空穴的生成和增长.对函数 $H （ x ， δ ， P ， 0 ， \tilde{ω} ） = 0$ 进行Taylor展开得到

\begin{matrix} P = \frac{5}{2} + \frac{40 π - 17 \sqrt{3} - 80 a r c t a n \sqrt{3}}{10 \sqrt{3}} a + \\ (\frac{1}{3} + \frac{40 \sqrt{3} π - 393}{135} a) x^{3} + o (x^{3}) ≐ \\ P_{c r} + M_{n} x^{3} + o (x^{3}), (x \to 0 +) \end{matrix}

(16)

其中，P_cr是微孔生成的临界载荷.
令M_n=0，求得微孔分岔的临界材料参数a₀，当a＜a₀时，对任意的δ∈（0，1），系统的平衡点曲线单调递增，此时系统只有一个中心（x₁，0）；当a＞a₀时，存在临界结构参数δ₀，当0＜δ≤δ₀时，系统只有一个中心（x₂，0）; 当δ₀＜δ＜1时，存在两个临界载荷P_t₁和P_t₂，出现二次转向分岔的情况:（1）若P＜P_t₁或者P＞P_t₂，系统只有一个中心（x₃，0）;（2）若P_t₁＜P＜P_t₂，系统有两个中心（x₄，0），（x₆，0）和一个鞍点（x₅，0）（x₄＜x₅＜x₆），如图1所示.
2.2 微孔的周期运动
进一步求得式（12）的首次积分

\frac{1}{2} [x^{3} - x^{4} {(δ^{3} + x^{3})}^{- 1 / 3}] {\dot{x}}^{2} + S (x, δ, P) = C

(17)

其中C是与初始条件相关的“能量常数”，S（x，δ，P）为系统的势能函数，具体形式为

S (x, δ, P) = \int_{(1 - δ^{3}) 1 / 3}^{x} z^{2} H (z, δ, P, 0, \tilde{ω}) d z

(18)

图1 系统的平衡点曲线
Fig.1 Equilibrium point curves of the system
对给定的材料参数，微孔在常值载荷作用下的非线性振动周期为

T = \int_{(1 - δ^{3}) 1 / 3}^{x_{m a x}} {[\frac{x^{3} - x^{4} {(δ^{3} + x^{3})}^{- 1 / 3}}{- 2 S (x, δ, P)}]}^{1 / 2} d x

(19)

其中x_max对应微孔的最大半径.
给定初始条件时，系统可围绕任一势阱作周期运动，也可以同时围绕两个势阱作周期运动，且势阱与系统的中心相对应，如图2（a）、图2（b）所示.由图2（c）、图2（d）可知，对给定的材料参数，当微孔半径足够小时:（1）若a＜a₀，微孔的振幅随着外载荷的增大而增大，但是存在临界载荷P_m，振幅变化速度开始增加，说明结构的刚度开始有了明显的减小；（2）若a＞a₀，微孔的振幅逐渐增大，同样存在临界载荷P_μ，此时振幅出现了跳跃现象，其相轨迹为非对称“∞”型同宿轨道.
图2 不同参数对应的势阱和等高线
Fig.2 Well potential and contour lines corresponding to different parameters
3 周期扰动载荷（ $\tilde{η} > 0$ ）
当 $\tilde{η} > 0$ 时， $P （ τ ） = P + \tilde{η} s i n \tilde{ω} τ$ ，此时微孔的运动方程是关于时间τ的非自治系统，为近可积的Hamilton系统.通过给定参数a=1，P=3.093，δ=0.999999，进一步研究微孔受到周期扰动载荷作用下在中心和鞍点附近的动力学行为.
3.1 微孔的拟周期运动
当初值取在系统的中心附近时，通过时程曲线，相轨迹和Poincaré截面重点关注微孔围绕单势阱和两势阱的拟周期运动.
当 $\tilde{η}$ =0时，系统进行周期运动，随着 $\tilde{η}$ 的增大，时程曲线不再呈现周期性变化，但从长时间的变化历程可以看出，时程曲线的包络线整体上仍呈现出周期性变化的特点，系统进行拟周期运动，如图3（a）、图3（b）所示.说明当扰动参数增大到一定取值时，系统的运动轨迹将变得更加复杂.
图3 不同扰动参数下中心附近的时程曲线和相轨迹
Fig.3 Time response curves and phase diagrams near the center under different perturbation parameters
注意到，在周期扰动作用下，微孔表现出拟周期运动，Poincaré截面变为多个独立的封闭曲线，且单势阱和双势阱运动都有类似的表现，如图4所示.
图4 周期扰动下的Poincaré截面，（a）单势阱运动，（b）双势阱运动
Fig.4 Poincaré sections under periodic perturbation of (a) one well potential and (b) double well potentials
对于非线性系统，结构振动的周期与初始条件有关，因此在外激励频率给定，初始条件不同时，受迫振动表现出不同的超谐或亚谐共振.图5给出了系统的外激励频率 $\tilde{ω}$ 和基频 $\tilde{ω}$ 之间满足关系 $\tilde{ω}$ =n $\tilde{ω}$ 时的Poincaré截面，当n=3时，等势线破裂为3个封闭的曲线，当n=4时，等势线破裂为4个封闭的曲线，当n=5时，等势线破裂为5个封闭的曲线.可以看出，当满足非线性共振条件时基频越小，其系统的Poincaré截面断裂形成更多封闭的曲线.
图5 不同初始条件下的Poincaré截面
Fig.5 Poincaré sections with different initial conditions
3.2 微孔的混沌运动
为探究微孔在鞍点附近的动力学行为，首先分析了鞍点附近时程曲线的变化，由图6可以看出，微孔在鞍点附近对扰动参数的变化更加敏感.
图6 不同扰动参数下鞍点附近的时程曲线
Fig.6 Time response curves near the saddle point under different perturbation parameters
如图7所示，当 $\tilde{η}$ =0.0001时，Poincaré截面由分散在同宿轨道附近不规则散点构成；当扰动参数增大时，Poincaré截面的区域明显增大.随着迭代步数K的增加，最大Lyapunov指数均出现了收敛，证明了算法的有效性.当 $\tilde{η}$ =0.0001时，最大Lyapunov指数大于零，结合时程曲线、Poincaré截面的表现可以发现，系统做无规则的混沌运动；且最大Lyapunov指数随扰动参数 $\tilde{η}$ 的增大而增大，说明系统非线性运动的不规则性进一步加强.特别地，基于3.1节中拟周期运动的讨论，本文对混沌运动的成因做如下的分析，当初值充分靠近鞍点时，相邻等势线之间的距离更小，发生等势线破裂时容易出现跨等势线的运动或环面相交导致混沌现象.
图7 不同扰动参数下鞍点附近的Poincaré截面和最大Lyapunov指数
Fig.7 Poincaré sections and maximal Lyapunov characteristic exponents near the saddle point under different perturbation parameters
4 结论
本文针对一类径向横观各向同性不可压缩neo-Hookean材料组成的球体，分析了周期扰动载荷对微孔定性行为的影响，通过对该问题进行数学建模和定性分析，得到的主要结论为：
（1）在常值载荷作用下，讨论了材料参数和结构参数对微孔分岔行为的影响.结果表明，材料参数和结构参数都会导致系统的二次转向分岔现象，并且随着外载荷的增大，系统的平衡点个数出现“1-3-1”的变化情况.通过分析系统平衡点和势阱的变化情况发现，材料参数和结构参数影响微孔的分岔并影响其生长速率.特别地，存在临界载荷，导致结构刚度的明显变化，甚至产生振幅跳跃现象.
（2）在周期扰动载荷作用下，基于二次转向分岔的讨论，给出了结构出现混沌运动的条件.特别地，不同的初值选择导致微孔具有完全不同的运动方式：① 初值取在中心附近时，发现微孔呈现拟周期运动；② 初值取在鞍点附近时，通过时程曲线、Poincaré截面和最大Lyapunov指数等方法发现微孔呈现混沌运动，并通过拟周期运动中出现的等势线破裂现象进行了解释.
参考文献
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基本信息

中图分类号: O322
文献标识码: A
DOI: 10.6052/1672-6553-2023-027
文章编号: 1672-6553-2024-22(1)-079-008

基金信息

国家自然科学基金资助项目(12172086)；
National Natural Science Foundation of China (12172086)；

引用信息

稿件历史

收稿日期: 2023-01-19

参考文献

[1] 朱云,邹鸿翔,魏克湘.自供能智能减震器自耦合控制研究 [J].动力学与控制学报,2021,19(5):53-58.ZHU Y,ZOU H X,WEI K X.Self-coupling control of self-powered intelligent shock absorber [J].Journal of Dynamics and Control,2021,19(5):53-58.(in Chinese)
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[19] 李冠强,谢建华.双边碰撞Duffing振子的对称性、尖点分岔与混沌 [J].动力学与控制学报,2021,19(5):1-7.LI G Q,XIE J H.Symmetry,cusp bifurcation and chaos of the double-impact duffing oscillator [J].Journal of Dynamics and Control,2021,19(5):1-7.(in Chinese)

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不可压缩超弹性球体中微孔运动的分岔和混沌*

Bifurcation and Chaos of Micro-Void Motion in Incompressible Hyperelastic Sphere*

摘要

Abstract

关键词

Keywords

1 模型建立

1.1 控制方程

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

1.2 模型求解

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

2 常值载荷（η~=0）

(15)

2.1 平衡点及其定性分析

(16)

2.2 微孔的周期运动

(17)

(18)

(19)

3 周期扰动载荷（η~>0）

3.1 微孔的拟周期运动

3.2 微孔的混沌运动

4 结论

参考文献

基本信息

基金信息

引用信息

稿件历史

参考文献

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不可压缩超弹性球体中微孔运动的分岔和混沌^*

Bifurcation and Chaos of Micro-Void Motion in Incompressible Hyperelastic Sphere^*

2 常值载荷（ $\tilde{η} = 0$ ）

3 周期扰动载荷（ $\tilde{η} > 0$ ）