引言

近年来人们对非线性系统的关注度越来越高，大量控制方案已被广泛研究^[1-4].文献^[5]将严格实用稳定性相关概念推广到具有控制输入的非线性奇异系统，利用两个Lyapunov函数和比较原理得出该类系统严格利用稳定及严格实用渐进稳定的充分条件；最近切换非线性系统的稳定性分析以及控制器设计逐渐成为研究热点^[6-8].文献^[6]研究了一类单输入单输出切换非线性系统输出与扰动的解耦问题，提出了此类系统输出与扰动的完全解耦的充分条件；文献^[7]为基于切换规则为时间依赖型的切换非线性系统设计了观测器，保证了系统稳定性；文献^[8]研究了典型非线性广义系统的状态反馈控制器和观测器设计问题.

在实际应用中，许多切换非线性控制系统存在系统带宽和通讯资源有限的问题.如何节约通讯资源成为另一研究热点.针对这一问题，文献^[9]研究一类输入饱和的切换非线性系统的事件触发输出反馈控制问题，设计了基于降维观测器的输出反馈控制器，保证了闭环信号全局有界；文献^[10]设计了一种自适应非线性干扰观测器，用于任意切换非线性系统的事件触发跟踪；基于驻留时间条件，文献^[11-13]研究了切换非线性系统的事件触发控制问题，所提出的方案在保证系统稳定性的同时排除了Zeno现象.文献^[14，15]研究了基于平均驻留时间约束的切换非线性系统，设计了事件触发控制器并导出了系统稳定所需要满足的平均驻留时间条件.文献^[16]针对一类切换非线性系统的周期事件触发控制展开了研究，给出了输出反馈周期事件触发控制方案，保证了系统在任意切换下的稳定性.文献^[17]研究了含有未知控制系数的切换非线性非严格反馈系统，设计了一个公共的降维观测器及带有离散事件触发控制器的输出反馈周期事件触发控制器，使通讯资源的利用降低.

以上研究是在执行器正常工作前提下展开的，但是实际控制系统，由于外部环境或自身因素影响，执行器在实际运行过程中可能发生故障.文献^[18-22]针对不同类型系统，研究了容错控制方案；文献^[23]研究了包含未知扰动和执行器故障切换非线性系统，设计了鲁棒H_∞可靠控制器，使系统在任意切换下全局二次稳定.文献^[24]研究了切换非线性大系统的输出反馈自适应事件触发容错控制问题，设计了新型自适应容错事件触发控制器，保证了闭环信号有界.需要指出的是上述结果都是基于公共Lyapunov函数研究的，但是据作者所知针对含有平均驻留时间约束的切换非线性系统容错事件触发控制问题研究却鲜有报道，本文主要提出了3个具有挑战性的问题：（1）若切换非线性系统包含执行器故障，如何设计容错事件触发控制器来克服执行器故障带来的影响同时节约系统通讯资源？（2）如何为每个子系统设计状态观测器？（3）如何选取平均驻留时间条件，使闭环系统所有状态有界？本文针对以上问题展开研究，主要内容如下：

（1）与已有文献^[11-15]相比，本文考虑的系统中包含执行器故障，为了有效地实现容错控制，我们引入坐标变换将原系统转换为新系统，并设计出模态依赖的状态观测器与控制器.

（2）不同于文献^[18，21]设计的控制器，为了节约控制系统的通讯资源，本文设计了一种新颖的自适应输出反馈事件触发容错控制方案.

（3）文中设计了一种新型事件触发机制，该机制可以有效避免切换发生在触发区间内，导致的控制器模态和系统模态不匹配的现象对系统稳定性的影响.

1 问题描述

考虑如下切换非线性系统：

其中$x={\left[x_1，\dots ，x_n\right]}^{\mathrm{T}}$为系统状态，${\stackrel{-}{x}}_i={\left[x_1，\dots ，x_n\right]}^{\mathrm{T}}$，υ（t）为系统输入，y为系统输出，$\sigma （t）:[0，\mathrm{\infty }）\to M=\{\mathrm{1，2}，\cdots ，m\}$为切换信号，m为子系统个数，σ（t）=k表示第k子系统激活. ${\tilde{f}}_{i，k}\left({\stackrel{-}{x}}_i\right)，i=1，\cdots ，n$表示未知光滑非线性函数，${\tilde{d}}_{i，k}（t）$表示外部扰动且$\left|{\tilde{d}}_{i，k}（t）\right|⩽{\stackrel{-}{d}}_{i，k}，{\stackrel{-}{d}}_{i，k}>0$是常数.考虑状态在切换时刻不发生跳变.

由于外部环境或自身因素影响，执行器在实际运行过程中可能发生故障.在本文中，执行器的故障模型^[9]被描述为：

其中常数ζ＞0表示执行器效果的部分损失，满足$\frac{\zeta }{}$≤ζ＜1，$\frac{\zeta }{}$＞0，u（t）表示控制器输入，$\stackrel{-}{v}（t）$表示偏移故障且满足$|\stackrel{-}{v}（t）|⩽v^{*}，v^{*}>0$是未知常数.

假设1^[25]  跟踪信号y_d连续有界并且其n阶导数$y_d^{（i）}，i=1，\cdots ，n$连续有界.

引理1^[26]  切换信号有平均驻留时间τ_a＞0，若存在常数N₀＞0则存在：

$N_{\sigma }(T,t)⩽N_0+\frac{(T-t)}{{\tau }_a}.$

引理2^[27，28]基于集合Ω_z存在连续函数F（Z），对于任意$\partial$＞0，令L为模糊规则数，存在模糊逻辑系统${\mathrm{\Theta }}^{\mathrm{T}}\mathrm{\Phi }（Z）$满足：

$\underset{Z\in \mathrm{\Omega }}{sup}\left|F\left(Z\right)-{\mathrm{\Theta }}^{\mathrm{T}}\mathrm{\Phi }\left(Z\right)\right|⩽\partial ,\partial >0.$

其中

$\begin{array}{c}Z={\left[Z_1,\dots ,Z_n\right]}^{\mathrm{T}},\\ \Theta ={\left[{\mathrm{\Theta }}_1,\dots ,{\mathrm{\Theta }}_L\right]}^{\mathrm{T}},\Phi \left(Z\right)={\left[{\phi }_1\left(Z\right),\dots ,{\phi }_L\left(Z\right)\right]}^{\mathrm{T}},\\ {\phi }_k=\prod _{i=1}^n\epsilon H_i^k\left(Z_i\right)/\sum _{k=1}^L\left[\prod _{i=1}^n\epsilon H_i^k\left(Z_i\right)\right].\end{array}$

通常将$\epsilon H_i^k\left(Z_i\right)$选为高斯函数.则函数F（Z）可以表示为：

$F\left(Z\right)={\mathrm{\Theta }}^{\mathrm{T}}\mathrm{\Phi }\left(Z\right)+\mu \left(Z\right),$

其中μ（Z）为逼近误差，满足$|\mu （Z）|⩽\stackrel{-}{\mu }，\stackrel{-}{\mu }>0$.

引理3^[29]  对于$\forall \eta >0，x\in R$函数tanh（·）满足

$0⩽\left|x\right|-x\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\frac{x}{\eta }\right)⩽0.2785\eta .$

注1  当$\zeta =\stackrel{-}{v}（t）=0$，系统（1）退化为文献^{[10，16，30]}中的模型，因此本文考虑的系统更具有一般性.

本文的控制目标是为系统（1）设计输出反馈自适应模糊事件触发控制器，保证其对应的闭环系统所有状态半全局一致最终有界.

2 主要结果

2.1 观测器设计

由于状态未知，我们引入如下的坐标变换：

其中i=1，···，n.

由公式（3），系统（1）可以描述为：

其中

$\begin{array}{c}{f}_{i,\sigma \left(t\right)}\left({\stackrel{-}{\xi }}_i\right)={\tilde{f}}_{i,\sigma \left(t\right)}/\zeta ,\\ d_{i,\delta \left(t\right)}\left(t\right)={\tilde{d}}_{i,\delta \left(t\right)}\left(t\right)/\zeta ,{\stackrel{-}{v}}^{*}\left(t\right)=\stackrel{-}{v}\left(t\right)/\zeta ,\\ {\stackrel{-}{\xi }}_i={\left[{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n\right]}^{\mathrm{T}}.\end{array}$

设计状态观测器如下：

其中i=1，···，n-1，${\widehat{\xi }}_1$是ξ_i的估计量，b_{i，σ（t）}＞0是设计参数并满足以下矩阵：

${\mathit{A}}_{\sigma \left(t\right)}=\left[\begin{array}{cccc}-b_{1,\sigma \left(t\right)}& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -b_{n-1,\sigma \left(t\right)}& 0& \cdots & 1\\ -b_{n,\sigma \left(t\right)}& 0& \cdots & 0\end{array}\right]$

是Hurwitz矩阵.

定义观测误差$e_i={\xi }_i-{\widehat{\xi }}_i，i=1，\dots ，n，e={\left[e_1，\dots ，e_n\right]}^{\mathrm{T}}$.

由式（4）和式（5）可得：

其中

$\begin{array}{c}{F}_{\sigma \left(t\right)}\left(\xi \right)=\left[f_{1,\sigma \left(t\right)}\left({\xi }_1\right)+b_{1,\sigma \left(t\right)}(1-\zeta ){\xi }_1,\cdots ,\right.\\ {\left.f_{n,\sigma \left(t\right)}\left(\stackrel{-}{\xi }\right)+b_{n,\sigma \left(t\right)}(1-\zeta ){\widehat{\xi }}_1\right]}^{\mathrm{T}},\\ D_{\sigma \left(t\right)}\left(t\right)={\left[d_{1,\sigma \left(t\right)}\left(t\right),\dots ,d_{n,\sigma \left(t\right)}\left(t\right)\right]}^{\mathrm{T}},\\ \tilde{v}\left(t\right)={\left[\mathrm{0,\; 0},\dots ,{\stackrel{-}{v}}^{*}\left(t\right)\right]}^{\mathrm{T}}.\end{array}$

注2  由于系统（1）的执行器中未知，我们针对系统直接设计观测器存在一定的难度.因此，我们引入坐标变换（3），将系统（1）转换为系统（4），并由此设计模态依赖的状态观测器（5）.

2.2 事件触发控制器设计

基于观测器（5），首先定义坐标变换如下：

其中α_i-1为虚拟控制器.

当σ（t）=k表示第k子系统激活.

第1步：选择Lyapunov形式为：

$V_{1,k}=V_{0,k}+\frac{z_1^2}{2\zeta }+\frac{{\tilde{\theta }}_1^2}{2r_1},$

其中r₁＞0是设计参数，选择Lyapunov函数$V_{0，k}=e^{\mathrm{T}}{\mathit{P}}_{k}e$.任意给定正定对称矩阵Q_k＞0，存在矩阵${\mathit{P}}_k={\mathit{P}}_k^{\mathrm{T}}>0$0满足：

进而可得：

根据引理2得：

$F_k\left(\xi \right)={\mathrm{\Theta }}_{0,k}^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Phi }}_0\left(\xi \right)+{\mu }_{0,k}\left(\xi \right),∥{\mu }_{0k}\left(\xi \right)∥⩽{\stackrel{-}{\mu }}_{0k}\cdot$

其中${\mu }_{0k}（\xi ）$为逼近误差，${\stackrel{-}{\mu }}_{0k}$＞0是常数.定义一个常量：

其中${\widehat{\theta }}_i$是θ_i的估计，满足${\tilde{\theta }}_i={\theta }_i-{\widehat{\theta }}_i，i=\mathrm{1，2}，\dots ，n.$

由$0<{\mathrm{\Phi }}_0^T（\xi ）{\mathrm{\Phi }}_0（\xi ）<1$，有：

其中${\stackrel{-}{D}}_k={\left[{\stackrel{-}{d}}_{1，k}，\dots ，{\stackrel{-}{d}}_{n，k}\right]}^{\mathrm{T}}$.将式（10）、式（11）代入式（9）得：

其中

${\delta }_{0,k}={∥{\mathit{P}}_k∥}^2\left[{\theta }_0+{∥{\stackrel{-}{D}}_k∥}^2+{\stackrel{-}{\mu }}_{0,k}^2+{\left(\frac{{\stackrel{-}{v}}^{*}}{\zeta }\right)}^2\right].$

根据式（12）可得${\dot{V}}_{1，k}$：

令$f_{1，k}-{\dot{y}}_d/\zeta =F_{1，k}\left(Z_1\right)$，根据引理2得：

$F_{1,k}\left(Z_1\right)={\mathrm{\Theta }}_{1,k}^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Phi }}_1\left(Z_1\right)+{\mu }_{1,k}\left(Z_1\right),\left|{\mu }_{1,k}\left(Z_1\right)\right|⩽{\stackrel{-}{\mu }}_{1,k}$

其中${\mu }_{1，k}>0，Z_1={\left[y，y_d，{\dot{y}}_d\right]}^{\mathrm{T}}$.

由Young’s不等式可得：

设计虚拟控制律和自适应律：

其中${\stackrel{-}{c}}_1=c_1+2，c_1，l_1>0$是设计参数.

由Young’s不等式得：

将式（12），式（14）~式（17）代入式（13）得：

其中${\delta }_{1，k}={\delta }_{0，k}+\frac{1}{2}+\frac{{\stackrel{-}{d}}^2{}_{1，k}}{2}+\frac{{\stackrel{-}{\mu }}_{1，k}^2}{2}+\frac{l_1}{2r_1}{\theta }_1^2$.

第2步：选择Lyapunov函数形式为：

$V_{2,k}=V_{1,k}+\frac{z_2^2}{2}+\frac{{\tilde{\theta }}_2^2}{2r_2},$

其中r₂＞0是设计参数.对其求导得：

其中${\dot{\alpha }}_1=\frac{\partial {\alpha }_1}{\partial y}\dot{y}+\frac{\partial {\alpha }_1}{\partial y_d}{\dot{y}}_d+\frac{\partial {\alpha }_1}{\partial {\dot{y}}_d}{\ddot{y}}_d+\frac{\partial {\alpha }_1}{\partial {\widehat{\theta }}_1}{\dot{\widehat{\theta }}}_1$，利用Young’s不等式得：

其中$b_2=\underset{k\in M}{max}\left\{b_{2，k}\right\}$.

将式（18），式（20）和式（21）代入式（19）得：

其中

$\begin{array}{c}{F}_{2,k}\left(Z_2\right)=-\sum _{i=0}^1\left(\frac{\partial {\alpha }_1}{\partial y_d^{\left(i\right)}}{y}_d^{(i+1)}\right)+z_2{\left(\zeta \frac{\partial {\alpha }_1}{\partial y}\right)}^2-\\ \zeta \frac{\partial {\alpha }_1}{\partial y}\left({\widehat{\xi }}_2+f_{1,k}\right)-\frac{\partial {\alpha }_1}{\partial {\dot{\theta }}_1}{\dot{\widehat{\theta }}}_1+\frac{z_2}{2}{\left(\zeta \frac{\partial {\alpha }_1}{\partial y}\right)}^2,\\ Z_2={\left[y,y_d,{\dot{y}}_d,{\ddot{y}}_d,{\widehat{\xi }}_2,{\widehat{\theta }}_1\right]}^{\mathrm{T}}.\end{array}$

根据引理2得：

$\begin{array}{c}{F}_{2,k}\left(Z_2\right)={\mathrm{\Theta }}_{2,k}^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Phi }}_2\left(Z_2\right)+{\mu }_{2,k}\left(Z_2\right),\\ \left|{\mu }_{2,k}\left(Z_2\right)\right|⩽{\stackrel{-}{\mu }}_{2,k},{\stackrel{-}{\mu }}_{2,k}>0,\end{array}$

其中${\mu }_{2，k}\left(Z_2\right)$为逼近误差.

利用Young’s不等式，有：

设计虚拟控制律和自适应律：

其中

${\stackrel{-}{c}}_2=c_2+\frac{3}{2}+\frac{b_2^2}{2}，c_2>0，l_2>0$是设计参数.

将式（23），式（24）代入式（22）得：

其中${\delta }_{2，k}={\delta }_{1，k}+\frac{1}{2}+\frac{{\stackrel{-}{\mu }}^2{}_{2，k}}{2}+\frac{{\stackrel{-}{d}}^2{}_{1，k}}{2}+\frac{l_2}{2r_2}{\theta }_2^2$.

第j步:（3≤j≤n-1）选择Lyapunov形式为：

其中r_j＞0是设计参数.

对其求导得：

其中

利用Young’s不等式可得：

其中$b_j=\underset{k\in M}{max}\left\{b_{jk}\right\}$.

令

$\begin{array}{c}{F}_{j,k}\left(Z_j\right)=-\sum _{i=0}^{j-1}\left(\frac{\partial {\alpha }_{j-1}}{\partial y_d^i}{y}_d^{(i+1)}\right)-\sum _{i=1}^{j-1}\left(\frac{\partial {\alpha }_{j-1}}{\partial {\widehat{\theta }}_i}{\dot{\widehat{\theta }}}_i\right)-\\ \sum _{i=2}^{j-1}\left(\frac{\partial {\alpha }_{j-1}}{\partial {\widehat{\xi }}_i}{\dot{\widehat{\xi }}}_i\right)+\zeta \frac{\partial {\alpha }_1}{\partial y}\left({\widehat{\xi }}_2+f_{1,k}\right)+\\ z_2{\left(\zeta \frac{\partial {\alpha }_1}{\partial y}\right)}^2+\frac{z_2}{2}{\left(\zeta \frac{\partial {\alpha }_1}{\partial y}\right)}^2,\end{array}$

其中$Z_j={\left[y_d，{\dot{y}}_d，\dots ，y_d^{（j）}，y，{\widehat{\theta }}_1，\dots ，{\widehat{\theta }}_{j-1}，{\widehat{\xi }}_2，\dots ，{\widehat{\xi }}_j\right]}^{\mathrm{T}}$.

设计虚拟控制律和自适应律：

其中${\stackrel{-}{c}}_j=c_j+\frac{3}{2}+\frac{b_j^2}{2}，c_j>0，l_j>0$是设计参数.

将式（29）~式（31）代入式（27）得：

其中${\delta }_{j，k}={\delta }_{j-1，k}+\frac{1}{2}+\frac{{\stackrel{-}{\mu }}_{j，k}^2}{2}+\frac{{\stackrel{-}{d}}_{1，k}^2}{2}+\frac{l_j}{2r_j}{\theta }_j^2$.

步骤n：选择Lyapunov函数形式为：

其中r_n＞0是设计参数，对其求导得：

其中

${\dot{\alpha }}_{n-1}=\sum _{i=0}^{n-1}\left(\frac{\partial {\alpha }_{n-1}}{\partial y_d^{\left(i\right)}}{y}_d^{(i+1)}\right)+\sum _{i=1}^{n-1}\left(\frac{\partial {\alpha }_{n-1}}{\partial {\dot{\theta }}_i}{\dot{\widehat{\theta }}}_i\right)+\frac{\partial {\alpha }_{n-1}}{\partial y}\dot{y}+\sum _{i=2}^{n-1}\left(\frac{\partial {\alpha }_{n-1}}{\partial {\widehat{\xi }}_i}{\dot{\widehat{\xi }}}_i\right),$

令

$\begin{array}{c}{F}_{n,k}\left(Z_n\right)=-\sum _{i=0}^{n-1}\left(\frac{\partial {\alpha }_{n-1}}{\partial y_d^{\left(i\right)}}{y}_d^{(i+1)}\right)-\sum _{i=1}^{n-1}\left(\frac{\partial {\alpha }_{n-1}}{\partial {\dot{\theta }}_i}{\dot{\widehat{\theta }}}_i+\right)-\\ \zeta \frac{\partial {\alpha }_1}{\partial y}\left({\widehat{\xi }}_2+f_{1,k}\right)+\sum _{i=2}^n\left(\frac{\partial {\alpha }_{n-1}}{\partial {\dot{\xi }}_i}{\dot{\widehat{\xi }}}_i\right)+\\ z_n{\left(\zeta \frac{\partial {\alpha }_1}{\partial y}\right)}^2+\frac{z_n}{2}{\left(\zeta \frac{\partial {\alpha }_1}{\partial y}\right)}^2,\end{array}$