高阶Maggi方程的Birkhoff化及其辛算法

薛冰，解加芳，张可心; Xue Bing; Xie Jiafang; Zhang Kexin

引 en

高阶Maggi方程的Birkhoff化及其辛算法^*

薛冰
机构：
北方工业大学理学院, 北京 100144
×
，解加芳
机构：
北方工业大学理学院, 北京 100144
×
，张可心
机构：
北方工业大学理学院, 北京 100144
×

北方工业大学理学院, 北京 100144；

Birkhoffization of Higher-Order Maggi Equation and Its Symplectic Algorithm^*

Xue Bing
Affiliation：
College of Science, North China University of Technology, Beijing 100144 , China
×
，Xie Jiafang
Affiliation：
College of Science, North China University of Technology, Beijing 100144 , China
×
，Zhang Kexin
Affiliation：
College of Science, North China University of Technology, Beijing 100144 , China
×

College of Science, North China University of Technology, Beijing 100144 , China；

通讯作者:

解加芳,E-mail:jia3409457@126.com

中图分类号:O316

文献标识码:A

文章编号:1672-6553-2024-22(1)-022-005

DOI:10.6052/1672-6553-2023-015

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目录contents

摘要 Abstract
关键词 Keywords
1 高阶非完整系统Maggi方程的Birkhoff化
2 Maggi方程的广义辛差分格式
3 算例
4 结论
参考文献

摘要

针对非完整系统的高阶Maggi方程,在满足一定的条件时,可以对其进行Birkhoff化.通过构造生成函数,利用Birkhoff广义辛算法对其进行数值仿真.仿真结果和传统的Runge-Kutta算法结果相比较,Birkhoff广义辛算法在长期跟踪后更加准确.

Abstract

For the high-order Maggi equation of nonholonomic systems, when it meets certain conditions,the Maggi equation can be transformed into a Birkhoffian system.By constructing the generating function, the system is investigated numerically using the symplectic geometric algorithm of the Birkhoffian system.Compared with the above-mentioned algorithm with the classical Runge-Kutta method, Birkhoffian symplectic scheme is very accurate in a long-term tracing.

关键词

非完整系统； Maggi方程； Birkhoff辛算法

Keywords

nonholonomic system ； Maggi equation ； Birkhoffian symplectic algorithm

引言
非完整系统是一类受到不可积微分约束的动力学系统^[1]，广泛应用于场论、机电动力系统、控制理论、工程科学等领域^[2].20世纪80年代我国学者梅凤翔研究了带参数约束的一类可控系统^[3]、变质量非完整约束系统.Maggi在1896年推广了拉格朗日第二类方程^[4]，对线性非完整约束系统得到一类动力学方程，后人称为Maggi方程^[5]，这些方程后来被推广到非线性非完整系统^[6].Maggi方程是力学系统^[7]各大运动方程的中间产物，对研究非完整系统的运动具有重要意义.
Birkhoff动力学理论是Hamilton动力学的自然推广，它是包括齐次Hamilton系统和非齐次Hamilton系统的更一般动力学理论，是最一般辛结构的局部实现，只有Birkhoff系统与一般辛几何结构之间才有一一对应关系.因此 Birkhoff 系统动力学^[8]的研究对于完善和深化分析力学的理论体系具有重要意义，尤其是对于非齐次 Hamilton 动力学系统的几何结构分析具有重要应用价值^[9].本文针对非完整系统高阶Maggi方程，在其满足一定条件下，将其进行Birkhoff化。并通过一个算例验证上述理论分析的正确性，再分别采用Runge-Kutta方法和Birkhoff辛算法对其进行数值计算^[10]，并将数值结果进行比较，给出Birkhoff辛算法在长时计算时的优越性.
1 高阶非完整系统Maggi方程的Birkhoff化
设力学系统的位形由n个广义坐标q_s（s=1，···，n）确定，系统受有g个理想m阶非完整约束^[11]

{\overset{(m)}{q}}_{ε + β} = φ_{β} (q_{s}, {\dot{q}}_{s}, \dots, \overset{(m - 1)}{q_{s}}, \overset{(m)}{q_{σ}}, t)

(1)

其中
$(\binom{β = 1, \dots, g; ε = n - g; σ = 1, \dots, ε;}{s = 1, \dots, n; m = 0, 1, 2, \dots})$
根据d’Alembert-Lagrange原理可以导出Maggi形式为:

\begin{matrix} \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{σ}} - \frac{\partial T}{\partial q_{σ}} - Q_{σ} + \sum_{β = 1}^{g} (\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{ε + β}} - \\ \frac{\partial T}{\partial q_{ε + β}} - Q_{ε + β}) \frac{\partial φ_{β}}{\partial φ_{q_{σ}} q_{σ}} = 0 \\ (σ = 1, \dots, ε) \end{matrix}

(2)

式中Q_σ为广义力，T为系统动能.
令

\begin{matrix} f_{s} (q_{k}, {\dot{q}}_{k}, {\ddot{q}}_{k}, t) = \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{s}} - \frac{\partial T}{\partial q_{s}} - Q_{s} \\ a_{β σ} (q_{s}, {\dot{q}}_{s}, \dots, \overset{(m - 1)}{q_{s}}, {\overset{(m)}{q}}_{ν}, t) = \frac{\partial φ_{β}}{\partial \overset{(m)}{q_{σ}}} \\ (ν = 1, \dots, ε; k = 1, \dots, n) \end{matrix}

(3)

则方程（2）有形式

\sum_{β = 1}^{g} f_{ε + β} a_{β σ} + f_{σ} = 0

(4)

当m=2时，方程（1）是二阶非完整的. 如果 $\frac{\partial φ_{β}}{\partial {\ddot{q}}_{σ}}$ 不含 ${\ddot{q}}_{s}$ ，则方程（4）对 ${\ddot{q}}_{s}$ 是线性的，否则是非线性的.由式（4）可以解得

{\ddot{q}}_{s} = h_{s} (q_{k}, {\dot{q}}_{k}, t) (s, k = 1, \dots, n)

(5)

约束对初始条件的限制为:

{\ddot{q}}_{ε + β}^{0} = φ_{β} (q_{s}^{0}, {\dot{q}}_{s}^{0}, {\ddot{q}}_{s}^{0}, t_{0}) (β = 1, \dots, g)

(6)

当m＞2时，依赖于 $\frac{\partial φ_{β}}{\partial \overset{（ m ）}{q_{σ}}}$ 的形式，方程（4）的阶可由2ε到mε.如果广义坐标对时间t的高阶导数是l（0≤l≤m），那么将方程（4）对t求（m-2）次导数（l≤2）或（m-l）次导数（l≥2），其阶将变成mε，由所得方程可以解得^[12]

{\overset{(m)}{q}}_{s} = h_{s} (q_{k}, {\dot{q}}_{k}, \dots, \overset{(m - 1)}{q_{k}}, t) (m > 2)

(7)

约束对初始条件的限制为:

\overset{{(m)}_{0}}{q} \underset{ε + β}{} = φ_{β} (q_{s}^{0}, \dots, {\overset{{(m)}_{0}}{q}}_{s}, t_{0}) (β = 1, \dots, g)

(8)

将式（7）化为标准一阶形式，令

\begin{matrix} x_{s} = q_{s}, x_{n + s} = {\dot{q}}_{s}, \dots, x_{(m - 1) n + s} = \overset{(m - 1)}{q_{s}} \\ (s = 1, \dots, n) \end{matrix}

(9)

则式（7）可以写成形式

{\dot{a}}^{ν} = σ^{ν} (ν = 1,2, \dots, m n)

(10)

其中

\begin{matrix} a^{ν} = x_{ν}, σ^{s} = x_{n + s}, \dots, \\ σ^{(m - 2) n + s} = x_{(m - 1) n + s}, \\ σ^{(m - 1) n + s} = h_{s} (s = 1, \dots, n) \end{matrix}

(11)

为将式（10）表为Birkhoff形式，其阶必为偶数^[9]，即mn=2N，如果mn为奇数2N-1，可增加一个方程

{\dot{a}}^{0} = 1 (a^{0} = t)

(12)

使其成为偶阶.从而，要使高阶非完整系统的Maggi方程可表示成Birkhoff形式

\begin{matrix} \sum_{ν = 1}^{2 N} (\frac{\partial R_{ν}}{\partial a^{μ}} - \frac{\partial R_{μ}}{\partial a^{ν}}) {\dot{a}}^{ν} - (\frac{\partial B}{\partial a^{μ}} + \frac{\partial R_{μ}}{\partial t}) = 0 \\ (μ = 1, \dots, 2 N) \end{matrix}

(13)

即要求满足

\begin{matrix} \sum_{ν = 1}^{2 N} (\frac{\partial R_{ν}}{\partial a^{μ}} - \frac{\partial R_{μ}}{\partial a^{ν}}) σ^{ν} (t, a) = \frac{\partial B}{\partial a^{μ}} + \frac{\partial R_{μ}}{\partial t} \\ (μ = 1, \dots, 2 N) \end{matrix}

(14)

设式（10）的2n个第一积分I^μ（t，a）彼此无关，即

\begin{matrix} {\dot{I}}^{μ} (t, a) = \frac{\partial I^{μ}}{\partial t} + \frac{\partial I^{μ}}{\partial a^{ν}} {\dot{a}}^{ν} = \frac{\partial I^{μ}}{\partial t} + \frac{\partial I^{μ}}{\partial a^{ν}} σ^{ν} = 0 \\ (μ = 1, \dots, 2 n) \end{matrix}

(15)

d e t (\frac{\partial I^{μ}}{\partial a^{ν}}) \neq 0

(16)

根据Hojman方法，则式（14）的Birkhoff函数组R_μ由下式确定

R_{μ} (t, a) = \sum_{α = 1}^{2 n} G_{α} \frac{\partial I^{α}}{\partial a^{μ}}

(17)

Birkhoff量B为:

B (t, a) = - \sum_{α = 1}^{2 n} G_{α} \frac{\partial I^{α}}{\partial t}

(18)

其中G_α需满足条件

d e t (\frac{\partial G_{μ}}{\partial I^{ν}} - \frac{\partial G_{ν}}{\partial I^{μ}}) \neq 0

(19)

2 Maggi方程的广义辛差分格式
根据Birkhoff系统的对称性，一个协变的非自治的一阶方程在流形R×T_*R²ⁿ的某一星形区域 ${\tilde{R}}^{*}$ 上是对称的充要条件是，它具有Birkhoff形式，即

\begin{matrix} \sum_{ν = 1}^{2 N} K_{μ ν} (z, t) \frac{d z_{v}}{d t} + D_{μ} (z, t) = \sum_{ν = 1}^{2 N} (\frac{\partial R_{ν}}{\partial a^{μ}} - \\ \frac{\partial R_{μ}}{\partial a^{ν}}) {\dot{a}}^{ν} - (\frac{\partial B}{\partial a^{μ}} + \frac{\partial R_{μ}}{\partial t}) (μ = 1, \dots, 2 N) \end{matrix}

(20)

其中

\begin{matrix} \{\begin{matrix} K_{μ ν} (z, t) = \frac{\partial R_{ν}}{\partial a^{μ}} - \frac{\partial R_{μ}}{\partial a^{ν}} \\ D_{μ} (z, t) = - (\frac{\partial B}{\partial a^{μ}} + \frac{\partial R_{μ}}{\partial t}) \end{matrix} \\ \frac{d z_{v}}{d t} = {\dot{a}}^{ν} \end{matrix}

(21)

假定方程组（20）的一种离散可以记为:

\begin{matrix} K (z_{i}, t_{i}) \partial_{t}^{i} z_{i} = {[\nabla_{z} S (z_{i}, t_{i})]}_{i} + \\ {[\partial_{t} R (z_{i}, t_{i})]}_{i} \end{matrix}

(22)

$\partial_{t}^{i}$ 代表 $\partial_{t}$ 在第i点的离散，此离散决定一个离散的相流z_i₊₁=Φ（z_i，t_i）.
式（22）称为式（20）的一个离散格式，如果它决定的格式Φ保持离散的K（z，t）辛格式，即

\frac{\partial Φ^{T}}{\partial z_{i}} K (z_{i + 1}, t_{i + 1}) \frac{\partial Φ}{\partial z_{i}} = K (z_{i}, t_{i})

(23)

假设K_μν，D_μ由式（17），式（18）和式（21）确定.此时根据秦孟兆，苏红玲等人的方法尝试构造此方程的广义辛算法.存在一个含有t参数的梯度映射 $\hat{ω}$ =f（ω，t，t₀），并可以得到

\frac{d \hat{ω}}{d t} = - A_{α} K^{- 1} D_{μ} + \frac{\partial α_{1}}{\partial t}

(24)

以及

\frac{d ω}{d t} = - C_{α} K^{- 1} D_{μ} + \frac{\partial α_{2}}{\partial t}

(25)

其中ω， $\hat{ω}$ ，α₁，α₂，A_α，C_α由R⁴ⁿ上到自身的可逆映射及其映射的Jacobi矩阵得到.
此映射为：

α (t, t_{0}) : (\binom{\tilde{z}}{z}) \to (\binom{\tilde{ω}}{ω}) = [\begin{matrix} α_{1} (\tilde{z}, z, t, t_{0}) \\ α_{2} (\tilde{z}, z, t, t_{0}) \end{matrix}]

(26)

式（26）的Jacobi矩阵为:

α_{*} (\tilde{z}, z, t, t_{0}) = (\begin{matrix} A_{α} B_{α} \\ C_{α} D_{α} \end{matrix})

(27)

映射α要满足

α_{*}^{T} {\tilde{J}}_{4 n} α_{*} = (\begin{matrix} K (\tilde{z}, t) & 0 \\ 0 & - K (z, t_{0}) \end{matrix})

(28)

其中
$\begin{matrix} {\tilde{J}}_{4 n} = (\begin{matrix} J_{2 n} & 0 \\ 0 & - J_{2 n} \end{matrix}) \\ J_{2 n} = (\begin{matrix} 0 & I_{n} \\ - I_{n} & 0 \end{matrix}) \end{matrix}$
当K与z无关时，根据式（27）和式（28）可以得到

\begin{matrix} A_{α}^{T} J_{2 n} A_{α} - C_{α}^{T} J_{2 n} C_{α} = K (t) \\ A_{α}^{T} J_{2 n} B_{α} - C_{α}^{T} J_{2 n} D_{α} = 0 \\ B_{α}^{T} J_{2 n} C_{α} - D_{α}^{T} J_{2 n} C_{α} = 0 \\ B_{α}^{T} J_{2 n} B_{α} - D_{α}^{T} J_{2 n} D_{α} = K (t_{0}) \end{matrix}

(29)

且需满足下面的截面条件
$|C_{α} M + D_{α}| \neq 0$
设B_α=C_α=0，则式（29）可成

\begin{matrix} A_{α}^{T} J_{2 n} A_{α} = K (t) \\ - D_{α}^{T} J_{2 n} D_{α} = K (t_{0}) \end{matrix}

(30)

设 $A_{α} = (\begin{matrix} m_{1} m_{2} \\ m_{3} m_{4} \end{matrix}) ， K （ t ） = (\begin{matrix} k_{1} k_{2} \\ k_{3} k_{4} \end{matrix})$ ，考虑到K（t）为反对称矩阵，则k₂=-k^T₃，并且k₁，k₄两个子矩阵也为反对称矩阵.
由式（30）可以得到

\begin{matrix} (\begin{matrix} - {(m_{1}^{T} m_{3})}^{T} + m_{1}^{T} m_{3} & - m_{3}^{T} m_{2} + m_{1}^{T} m_{4} \\ - m_{4}^{T} m_{1} + m_{2}^{T} m_{3} & - {(m_{2}^{T} m_{4})}^{T} + m_{2}^{T} m_{4} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} k_{1} & k_{2} \\ k_{3} & k_{4} \end{matrix}) \end{matrix}

(31)

由于K（t）已经被式（17）和式（21）确定，可以求出A_α.同理可得D_α.因此ω， $\hat{ω}$ ，α₁，α₂，B_α，C_α都能给出.
生成函数φ（ω，t，t₀）=α（t，t₀），可以构造广义Birkhoff辛差分格式.当步长τ＞0足够小的时候，取

\begin{matrix} ψ_{ω}^{(m)} (ω, t_{0} + τ, t_{0}) = \sum_{i = 0}^{m} τ^{i} ϕ_{ω}^{(i)} (ω, t_{0}), \\ (m = 1,2, \dots) \end{matrix}

(32)

那么 $ψ_{ω}^{（ m ）} (ω ， t_{0} + τ ， t_{0})$ 就定义了一个有m阶精度的K（z，t）辛离散格式，使得

\begin{matrix} z = z^{k} \to z^{k + 1} = \tilde{z} \\ α_{1} (z^{k + 1}, z^{k}, t_{k + 1}, t_{k}) \\ = ψ_{w}^{(m)} [α_{2} (z^{k + 1}, z^{k}, t_{k + 1}, t_{k}), t_{k + 1}, t_{k}] \end{matrix}

(33)

3 算例
假设某一力学系统的位形由2个广义坐标q₁，q₂确定，其系统动能为

T = \frac{1}{2} ({\dot{q}}_{1}^{2} + {\dot{q}}_{2}^{2})

(34)

且该系统受到1个2阶非完整约束：

{\ddot{q}}_{2} = 2 {\dot{q}}_{1} - t {\ddot{q}}_{1}

(35)

为了计算简便，取广义力Q₁=0，Q₂=4 ${\dot{q}}_{1}$ ，则由式（2）给出该系统的Maggi方程为：

(1 + t^{2}) {\ddot{q}}_{1} + 2 t {\dot{q}}_{1} = 0

(36)

显然式（36）有解：
$\begin{matrix} q_{1} = 1 - a r c t a n (t) \\ q_{2} = - 3 t \cdot a r c t a n (t) + 2 l n (t^{2} + 1) + t \end{matrix}$
由此可以构造Birkhoff函数R_μ，B如下^[11]：
$R_{1} = I^{4} = a^{2} - t a^{4} + \frac{t^{2}}{t^{2} + 1} - 2 l n (t^{2} + 1)$
$\begin{matrix} R_{2} = 0 \\ R_{3} = I^{2} - t I^{4} = a^{4} + 3 a r c t a n (t) - \frac{t}{t^{2} + 1} - \\ t [a^{2} - t a^{4} + \frac{t^{2}}{t^{2} + 1} 2 l n (t^{2} + 1)] \\ R_{4} = 0 \end{matrix}$
$\begin{matrix} B = - \{\frac{2 t^{2}}{{(1 + t^{2})}^{2}} a^{2} + [2 l n (t^{2} + 1) - \\ \frac{t^{2}}{t^{2} + 1}] a^{3} - \frac{2 t^{3} + 2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} a^{4} - a^{2} a^{3} + t a^{3} a^{4} - \\ \frac{4 t^{2}}{{(1 + t^{2})}^{2}} l n (1 + t^{2}) - \frac{6 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} + \\ \frac{2 t^{4} + 2 t^{2}}{{(1 + t^{2})}^{3}}\} \end{matrix}$
从而将该系统的Maggi方程可以Birkhoff化：
$(\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 & t \\ 1 & 0 & - t & 0 \\ 0 & t & 0 & - 1 - t^{2} \\ - t & 0 & 1 + t^{2} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} - \frac{1}{(t^{2} + 1)} \\ - 3 a r c t a n (t) + \frac{t}{t^{2} + 1} + 1 \\ \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} \\ - \frac{4 t^{2} + 2}{{(1 + t^{2})}^{2}} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 a r c t a n (t) - \frac{5 t^{3} + 3 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}} - 1 \\ \frac{2 t^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}} \\ - 3 t \cdot a r c t a n (t) + \frac{5 t^{2} + 2}{t^{2} + 1} + t \\ \frac{3 t}{t^{2} + 1} \end{matrix})$
结合式（24）和式（25），我们可以确定生成函数φ（ω，t，t₀），之后采用上述的Birkhoff广义辛算法式（32），得到此 Birkhoff 系统的二阶K（z，t）离散格式^[11-13].
图1 二阶Runge-Kutta算法相对误差
Fig.1 Relative error of second order Runge-Kutta algorithm
对该题采用二阶K（z，t）算法和二阶Runge-Kutta算法进行计算.在计算过程中，先取如下初值：q₁=1，C₁=C₂=1，取步长τ=0.01.并通过比较两种数值方法计算所得数值解和解析解q₁=1-arctan（t）之间的相对误差来说明两种数值方法的差别.
图2 Birkhoff辛算法相对误差
Fig.2 Relative error of Birkhoff symplectic algorithm
对比图1和图2可以看出，Runge-Kutta方法在长期跟踪后与解析解有着大幅度的相对误差，而Birkhoff辛算法则相对误差非常的小.因此，Birkhoff辛算法结果更加精确.
4 结论
本文对一定条件下的非完整系统的高阶Maggi方程（2）先进行了Birkhoff化，得到广义Birkhoff方程（13），并针对该方程，应用Birkhoff广义辛差分格式与传统Runge-Kutta算法分别进行计算，比较两种算法，最后得出Birkhoff广义辛差分算法在求解非完整系统高阶Maggi方程中更加优越.
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- [9] 刘畅,宋端,刘世兴,等.非齐次Hamilton系统的Birkhoff表示 [J].中国科学:物理学力学天文学,2013,43(4):541-548.LIU C,SONG D,LIU S X,et al.Birkhoffian representation of non-homogenous hamiltonian system [J].Scientia Sinica(Physica,Mechanica & Astronomica),2013,43(4):541-548.(in Chinese)
- [10] 解加芳,庞硕,邹杰涛,等.非完整系统Boltzmann-Hamel方程的Birkhoff化及其广义辛算法 [J].物理学报,2012,61(23):1-5.XIE J F,PANG S,ZOU J T,et al.The Borkhoffian expression of Boltzmann-Hamel equation of nonholonomic system and its generalized symplectic geometric algorithm [J].Acta Physica Sinica,2012,61(23):1-5.(in Chinese)
- [11] 梅凤翔，史荣昌，张永发，等.Birkhoff系统动力学.北京:北京理工大学出版，1996.MEI F X,SHI R C,ZHANG Y F,et al.Dynamics of Birkhoff systems [J].Beijing:Beijing Institute of Technology Press,1996.(in Chinese)
- [12] 宋端,崔金超,刘世兴,等.高阶非完整系统的广义Birkhoff表示 [J].动力学与控制学报,2013,11(2):97-101.SONG D,CUI J C,LIU S X,et al.Generalized birkhoffian representation of high-order nonholonomic systems [J].Journal of Dynamics and Control,2013,11(2):97-101.(in Chinese)
- [13] 郭永新．非完整约束力学的几何结构研究 [D]．北京:北京理工大学，1996.GUO Y X．Studies of geometric frameworks for constrained mechanical systems [D]．Beijing:Beijing Institute of Technology，1996.(in Chinese)

基本信息

中图分类号: O316
文献标识码: A
DOI: 10.6052/1672-6553-2023-015
文章编号: 1672-6553-2024-22(1)-022-005

基金信息

国家自然基金资助项目(12172003)；
National Natural Science Foundation of China (12172003)；

引用信息

稿件历史

收稿日期: 2023-01-05

参考文献

[1] 张毅,蔡锦祥.事件空间中非完整力学系统的Herglotz-d’Alembert原理与守恒律 [J].动力学与控制学报,2022,20(2):15-21.ZHANG Y,CAI J X.Herglotz-d’ Alembert principle and conservation law for nonholonomic mechanical systems in event space [J].Journal of Dynamics and Control,2022,20(2):15-21.(in Chinese)
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[12] 宋端,崔金超,刘世兴,等.高阶非完整系统的广义Birkhoff表示 [J].动力学与控制学报,2013,11(2):97-101.SONG D,CUI J C,LIU S X,et al.Generalized birkhoffian representation of high-order nonholonomic systems [J].Journal of Dynamics and Control,2013,11(2):97-101.(in Chinese)
[13] 郭永新．非完整约束力学的几何结构研究 [D]．北京:北京理工大学，1996.GUO Y X．Studies of geometric frameworks for constrained mechanical systems [D]．Beijing:Beijing Institute of Technology，1996.(in Chinese)

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高阶Maggi方程的Birkhoff化及其辛算法*

Birkhoffization of Higher-Order Maggi Equation and Its Symplectic Algorithm*

摘要

Abstract

关键词

Keywords

1 高阶非完整系统Maggi方程的Birkhoff化

(1)

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(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

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(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

2 Maggi方程的广义辛差分格式

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

3 算例

(34)

(35)

(36)

4 结论

参考文献

基本信息

基金信息

引用信息

稿件历史

参考文献

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高阶Maggi方程的Birkhoff化及其辛算法^*

Birkhoffization of Higher-Order Maggi Equation and Its Symplectic Algorithm^*