基于有限差分法的端部约束同轴圆柱壳的流致失稳分析

张程翔，张德春，李鹏，卢军，朱弈嶂; Zhang Chengxiang; Zhang Dechun; Li Peng; Lu Jun; Zhu Yizhang

引 en

基于有限差分法的端部约束同轴圆柱壳的流致失稳分析^*

张程翔¹
机构：
1. 西南交通大学力学与航空航天学院, 成都 610031
×
，张德春¹
机构：
1. 西南交通大学力学与航空航天学院, 成都 610031
×
，李鹏¹
机构：
1. 西南交通大学力学与航空航天学院, 成都 610031
×
，卢军²
机构：
2. 中国核动力研究设计院, 成都 610213
×
，朱弈嶂¹
机构：
1. 西南交通大学力学与航空航天学院, 成都 610031
×

1. 西南交通大学力学与航空航天学院, 成都 610031；
2. 中国核动力研究设计院, 成都 610213；

Analysis of Flow Induced Instability of Coaxial Cylindrical Shells with End Constraints by Finite Difference Method^*

Zhang Chengxiang¹
Affiliation：
1. School of Mechanics and Aerospace Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031 , China
×
，Zhang Dechun¹
Affiliation：
1. School of Mechanics and Aerospace Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031 , China
×
，Li Peng¹
Affiliation：
1. School of Mechanics and Aerospace Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031 , China
×
，Lu Jun²
Affiliation：
2. Nuclear Power Institute of China, Chengdu 610213 , China
×
，Zhu Yizhang¹
Affiliation：
1. School of Mechanics and Aerospace Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031 , China
×

1. School of Mechanics and Aerospace Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031 , China；
2. Nuclear Power Institute of China, Chengdu 610213 , China；

通讯作者:

李鹏,E-mail:lp_vib@126.com

中图分类号:U661

文献标识码:A

文章编号:1672-6553-2023-21(9)-059-008

DOI:10.6052/1672-6553-2022-070

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出版信息

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目录contents

摘要 Abstract
关键词 Keywords
1 理论模型与计算方法
1.1 理论计算模型
1.2 有限差分法离散圆柱壳方程
1.3 流体力的计算
1.4 流体力的离散
2 固有特性分析
3 同轴圆柱壳的流弹失稳分析
4 结论
参考文献

摘要

本文基于经典壳体和理想势流理论建立圆柱壳流固耦合系统的运动方程,并引入有限差分法(FDM)对运动方程进行离散.为将壳体表面的扰动压力离散到差分网格节点,基于差分离散的原理,提出了以分段函数作为基函数的展开方法.本文对结构与压力控制方程均采用FDM方法进行求解,发展了一种基于FDM的同轴圆柱壳流固耦合求解策略.首先,利用本文方法计算了同轴圆柱壳在静态流体环境中的振动频率,并与有限元软件(ANSYS)的计算结果相比较,验证了本文方法的正确性；然后,探究了在静流体环境中同轴圆柱壳的结构参数变化对其振动频率的影响规律；最后,研究了同轴圆柱壳系统在运动流体环境中的流弹失稳问题.

Abstract

Based on the classical shell and ideal potential flow theory, the motion equation of the fluid-structure coupling system of the coaxial cylindrical shell is established, and the finite difference method (FDM) is introduced to discretize the motion equation. An expansion method applying the piecewise function as the basis function is proposed in this paper. A fluid-structure coupling solution strategy of a coaxial cylindrical shell based on FDM is developed. We apply this method first to solve the vibration frequency of the coaxial cylindrical shell in a static fluid and compare it with the ANSYS to verify the correctness of this method. Then, the influence of structural parameters of coaxial cylindrical shell on its vibration frequency in hydrostatic is explored; Finally, the hydraulic-elastic instability of the coaxial cylindrical shell system is studied.

关键词

流固耦合；有限差分法；同轴圆柱壳；振动频率；失稳流速

Keywords

coaxial cylindrical shell ； finite difference method ； fluid structure coupling ； vibration frequency ； instability velocity

引言
圆柱壳以及其与内（外）部轴向流场耦合模型在船舶舰艇、航空航天以及核反应堆等领域中广泛应用，如潜艇、火箭燃料储存箱及反应堆吊篮等结构^[1].针对这类典型系统的理论建模、流固耦合振动及流弹失稳等问题，国内外学者已开展了大量工作并取得了丰硕的研究成果^[2-4].
Païdoussis基于Flügge壳体方程和无粘无旋理想流体理论，采用傅里叶变换和伽辽金离散方法研究了两端固支同轴圆柱壳的流致失稳问题^[5].王建立在Païdoussis理论模型基础上研究了固支-简支边界条件下同轴圆柱壳的流致失稳问题^[6].Bochkarev使用有限单元法（FEM）研究了同轴圆柱壳的流固耦合问题^[7].席志德采用行波法（TWM）研究了两端简支同轴圆柱壳在内外部流体共同作用下的振动特性^[8].在上述研究方法中，Païdoussis的理论模型虽适用于不同边界同轴圆柱壳的分析，但由于其采用伽辽金方法，因此推导过程较为复杂且需大量积分计算；而采用FEM一般需要较多的网格数量以保证计算精度，但也会导致较低的计算效率；TWM方法虽然简单有效，但由于壳体轴向行波波长与其边界条件密切相关，该方法在处理两端简支条件时简单有效，却不易推广至其它边界条件.
有限差分法（FDM）是一种简单高效的偏微分方程数值计算方法，具有推导过程简单、计算量少及适用于不同边界条件等特点.虽然FDM已经用于分析典型的流固耦合问题^[9]，但其用于同轴圆柱壳流致振动及其流弹失稳问题还未见相关报道.本文尝试发展基于FDM的同轴圆柱壳流致振动以及流弹失稳问题的分析策略，以期为该类问题提供一种可行的求解方法和完善已有相关理论研究.本文拟采用的研究思路如图1 所示.首先，基于经典壳体理论^[10]和理想势流理论^[11]建立圆柱壳流固耦合运动方程，并采用FDM对方程进行离散；为将流体扰动压力离散到差分网格节点，引入分段函数作为离散插值基函数，发展了二次插值映射方法；然后，通过获得的流固耦合运动方程计算系统振动频率及振型；最后，探究系统振动频率的参数影响规律及流动环境中的流致失稳问题.
图1 本文研究思路
Fig.1 Research process of thesis
1 理论模型与计算方法
1.1 理论计算模型
考虑如图2所示的同轴圆柱壳结构，内壳为本文所计算的各向同性弹性体，外壳为刚体用于约束流体区域.圆柱壳长度为L、内圆柱壳半径为a、厚度为h、密度为ρ_s、杨氏模量为E、泊松比为v，外圆柱壳半径为b.系统包含内腔和环腔两个流体域，密度分别为ρ_i和ρ_o、流速分别为U_i和U_o.
图2 同轴圆柱壳模型
Fig.2 Coaxial cylindrical shell model
内圆柱壳自由运动方程可由唐纳尔—莫利（Donnell-Mushtari）方程描述^[12]，其在流体环境中的流固耦合振动方程为：

\{\begin{matrix} a^{2} \frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}} + \frac{1 - ν}{2} \frac{\partial^{2} U}{\partial θ^{2}} + \frac{a (1 + ν)}{2} \frac{\partial^{2} V}{\partial x \partial θ} + ν a \frac{\partial W}{\partial x} = γ \frac{\partial^{2} U}{\partial t^{2}} \\ \frac{a (1 + ν)}{2} \frac{\partial^{2} U}{\partial x \partial θ} + \frac{a^{2} (1 - ν)}{2} \frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} V}{\partial θ^{2}} + \frac{\partial W}{\partial θ} = γ \frac{\partial^{2} V}{\partial t^{2}} \\ ν a \frac{\partial U}{\partial x} + \frac{\partial V}{\partial θ} + W + k a^{4} \frac{\partial^{4} W}{\partial x^{4}} + k \frac{\partial^{4} W}{\partial θ^{4}} + 2 k a^{2} \frac{\partial^{4} W}{\partial θ^{2} \partial x^{2}} = - γ (\frac{\partial^{2} W}{\partial t^{2}} - \frac{Δ p}{ρ_{s} h}) \end{matrix}

(1)

式中 $k = h^{2} / 12 a^{2} ， γ = ρ_{s} a^{2} (1 - ν^{2}) / E$ .
考虑到圆柱壳沿圆周方向具有周期性条件，故可假设其位移分量U、V、W为^[13]：

\{\begin{matrix} U (x, θ, t) = u (x, t) c o s (n θ) \\ V (x, θ, t) = v (x, t) s i n (n θ) \\ W (x, θ, t) = w (x, t) c o s (n θ) \end{matrix}

(2)

其中n为周向波数.
将式（2）代入式（1）可得：

\{\begin{matrix} a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} - n^{2} \frac{1 - ν}{2} u + n \frac{a (1 + ν)}{2} \frac{\partial v}{\partial x} + \\ ν a \frac{\partial w}{\partial x} = - γ \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} \\ - n \frac{a (1 + ν)}{2} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{a^{2} (1 - ν)}{2} \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}} - \\ n^{2} v - n w = - γ \frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}} \\ ν a \frac{\partial u}{\partial x} + n v + w + k n^{4} w + k a^{4} \frac{\partial^{4} w}{\partial x^{4}} - \\ 2 k n^{2} k a^{2} \frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}} = - γ \frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}} + γ \frac{Δ p}{ρ_{s} h} \end{matrix}

(3)

式中Δp为单位面积上沿圆柱壳径向的压力，定义为内腔和环腔的压力差，即：

Δ p = {p_{i}|}_{r = a} - {p_{o}|}_{r = a}

(4)

忽略流体粘性效应，并视流体在轴向的平均压力为常数.当内腔和环腔的流体有相同平均静压时，其在内壳处产生的沿径向压力载荷可相互抵消，此时内圆柱壳所受的唯一有效载荷来自于运动变形时所产生的流体扰动压力.
1.2 有限差分法离散圆柱壳方程
令Δp=0，首先对（3）式的结构部分采用 FDM进行离散，可得：

M \ddot{X} + K X = 0

(5)

其中：

上式中：N为离散节点数，I_N为N×N的单位对角矩阵，Z_N为N×N的零矩阵，K为结构的刚度矩阵，其与圆柱壳端部的约束条件有关.
根据圆柱壳两端边界条件以及FDM方法可知，当圆柱壳两端为简支约束（S-S）时，壳体两端离散节点的位移分量关系为：

\{\begin{matrix} u_{0} = u_{1} \\ u_{N} = u_{N + 1} \\ v_{0} = v_{N + 1} = 0 \\ w_{0} = w_{N + 1} = 0 \end{matrix}

(6)

当两端受固支约束（C-C）时：

\{\begin{matrix} u_{0} = u_{N + 1} = 0 \\ v_{0} = v_{N + 1} = 0 \\ w_{0} = w_{N + 1} = 0 \end{matrix}

(7)

当左端受简支约束右端受固支约束（S-C）时：

\{\begin{matrix} u_{0} = u_{1} \\ u_{N + 1} = 0 \\ v_{0} = v_{N + 1} = 0 \\ w_{0} = w_{N + 1} = 0 \end{matrix}

(8)

其中，下标0和N+1分别为边界上第0个和第N+1个边界点的位移分量，下标1和N分别为第1个和第N个内部节点的位移分量.
1.3 流体力的计算
考虑无粘无旋不可压缩的理想流体，内（环）腔流体的扰动速度势 $ϕ_{i （ o ）} （ x ， r ， θ ， t ）$ 均满足柱坐标系下的拉普拉斯方程：

\frac{\partial^{2} ϕ_{i (o)}}{\partial r^{2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial ϕ_{i (o)}}{\partial r} + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ_{i (o)}}{\partial θ^{2}} + \frac{\partial^{2} ϕ_{i (o)}}{\partial x^{2}} = 0

(9)

考虑壳体小幅扰动，此时结构变形对流体的扰动速度应满足圆柱表面的不可穿透边界条件，即：

\{\begin{matrix} {\frac{\partial ϕ_{i (o)}}{\partial r}|}_{r = a} = \frac{\partial w}{\partial t} + U_{i (o)} \frac{\partial w}{\partial x}, (0 ⩽ x ⩽ L) \\ {\frac{\partial ϕ_{i (o)}}{\partial r}|}_{r = a} = 0, {\frac{\partial ϕ_{0}}{\partial r}|}_{r = b} = 0 (x < 0, x > L) \end{matrix}

(10)

对于两端开口的同轴圆柱壳，速度势函数还需满足远场边界条件，即：

{ϕ_{i} (x, r, θ, t)|}_{x = 0, L} = {ϕ_{o} (x, r, θ, t)|}_{x = 0, L} = 0

(11)

根据（11）式，可假设扰动速度势解的基本形式为^[14]：
$ϕ_{i (o)} (x, r, θ, t) = \{\sum_{m = 1}^{\infty} [A_{m} I_{n} (ξ_{m} r) +$
$B_{m} K_{n} (ξ_{m} r)] s i n (ξ_{m} x) + \sum_{m = 1}^{\infty} [C_{m} I_{n} (ξ_{m} r) +$

D_{m} K_{n} (ξ_{m} r)] c o s (ξ_{m} x)\} c o s (n θ)

(12)

其中ξ_m=mπ/L.
1.4 流体力的离散
考虑边界条件（10）式，注意到简支和固支边界条件中的径向位移为零，则圆柱壳的径向位移W（x，t）可展开为：

W (x, t) = \sum_{k = 2}^{N - 1} η_{k} (x) W (x_{k}, t)

(13)

其中，W（x_k，t）为壳体在节点x_k处沿径向的位移，η_k（x）为x_k处对应的位移差值函数.基于FDM的基本离散原理，η_k（x）选取为如下的分段函数形式：

(14)

根据势函数解形式，η_k（x）和 $\partial η_{k} / \partial x$ 需满足：

\{\begin{matrix} η_{k} (0) = η_{k} (L) = 0 \\ {\frac{\partial η_{k} (x)}{\partial x}|}_{x = 0} \neq 0, {\frac{\partial η_{k} (x)}{\partial x}|}_{x = L} \neq 0 \end{matrix}

(15)

因此，可将其进一步展开为：

\{\begin{matrix} η_{k} (x) = \sum_{m = 1}^{\infty} φ_{m} s i n (ξ_{m} x_{k}) \\ \frac{\partial η_{k} (x)}{\partial x} = \sum_{m = 1}^{\infty} {\bar{φ}}_{m} c o s (ξ_{m} x_{k}) \end{matrix}

(16)

故：

\{\begin{matrix} φ_{m} = \frac{\int_{0}^{L} η_{k} (x) s i n (ξ_{m} x_{k}) d x}{\int_{0}^{L} {s i n}^{2} (ξ_{m} x_{k}) d x} \\ {\bar{φ}}_{m} = \frac{\int_{0}^{L} \frac{\partial η_{k} (x)}{\partial x} c o s (ξ_{m} x_{k}) d x}{\int_{0}^{L} {c o s}^{2} (ξ_{m} x_{k}) d x} \end{matrix}

(17)

考虑（10）式和（17）式，则可表示出离散形式的内（环）腔流体扰动势函数：
$ϕ_{i (o)} (x, r, θ, t) =$
$\sum_{k = 2}^{N - 1} \sum_{m = 1}^{\infty} \{G_{i (o)} [φ_{m} s i n (ξ_{m} x_{k}) \dot{W} (x, t) +$

U_{i} {\bar{φ}}_{m} c o s (ξ_{m} x_{k}) W (x, t)]\} c o s (n θ)

(18)

其中：

\{\begin{matrix} G_{i} = \frac{I_{n} (ξ_{m} r)}{I_{n}^{'} (ξ_{m} a)} \\ G_{o} = \frac{I_{n}^{'} (ξ_{m} b) K_{n} (ξ_{m} r) - K_{n}^{'} (ξ_{m} b) I_{n} (ξ_{m} r)}{K_{n}^{'} (ξ_{m} a) I_{n}^{'} (ξ_{m} b) - K_{n}^{'} (ξ_{m} b) I_{n}^{'} (ξ_{m} a)} \end{matrix}

(19)

由于所考虑的流体为理想流体，扰动压力则可由线化Bernoulli方程获得：

{p_{i (o)}|}_{r = a} = - ρ_{i (o)} (\frac{\partial ϕ_{i (o)}}{\partial t} + U_{i (o)} \frac{\partial ϕ_{i (o)}}{\partial x})

(20)

进而计算出圆柱壳受到沿径向的扰动压力为：
$p_{i (o)} = - ρ_{i (o)} \sum_{k = 2}^{N - 1} \sum_{m = 1}^{\infty} (G_{i (o)} \{[φ_{m} \ddot{W} (x, t) -$
$U_{i (o)}^{2} ξ_{m} {\bar{φ}}_{m} W (x, t)] s i n (ξ_{m} x_{k}) + [φ_{m} ξ_{m} \dot{W} (x, t) +$
$U_{i (o)} {\bar{φ}}_{m} \dot{W} (x, t)] c o s (ξ_{m} x_{k})\}) c o s (n θ)$
根据（4）式可计算出ΔP，并表示为如下的矩阵形式：

Δ P = M_{i - o} \ddot{X} + C_{i - o} \dot{X} + Δ K_{i - o} X

(21)

式中ΔM_i_-o、C_i-o和ΔK_i_-o分别为流体的附加质量、附加阻尼和附加刚度项，分别表示为：

将式（5）与式（21）式相加，可得到圆柱壳流致振动方程的离散形式：

(M + Δ M_{i - o}) \ddot{X} + C_{i - o} \dot{X} + (K + Δ K_{i - o}) X = 0

(22)

2 固有特性分析
首先考虑静水工况，即U_o=U_i=0、ρ_i=ρ_o =1000kg/m³，选取如表1 所示的结构参数.分别使用本方法和ANSYS软件计算不同周向波数圆柱壳的振动频率.
ANSYS软件建模中，流体建模采用FLUID30单元，共划分27460个网格单元；结构采用SOLSH190单元，共划分3840个网格单元.采用本方法计算时，离散节点数为50.两种方法的计算结果对比如图3所示.
表1 计算的结构参数
Table1 Calculate Structural Parameters
图3 本方法和ANSYS计算结果比较
Fig.3 Comparison by the FDM and ANSYS
由图3可知，本文方法与软件计算结果吻合较好，验证了本文方法的正确性.通过选取不同的离散节点数N来分析本文方法的收敛性.分别计算周向波数n=2~5和不同离散节点数N时系统的第一阶固有频率，如图4所示.由图可知，当选取离散节点数N＞20时，本文方法计算得到振动频率与N的变化几乎无关，表明本文方法具有较好的收敛性.
图4 不同N的计算结果
Fig.4 Convergence results for various N
图5给出了周向波数n=1~6时，圆柱壳的振型.
图5 不同n对应的振型图
Fig.5 Vibration modes for various n
图6 不同边界条件对应的频率
Fig.6 Vibration modes for various n
图7 参数a/h对两端简支的圆柱壳振动频率的影响
Fig.7 Influence of a/h on the Vibration Frequencies with S-S Boundary
下面考察S-S、S-C和C-C边界条件下圆柱壳的固有频率，如图6所示.结果表明，相同的波数下，其振动频率随着端部约束的增强而提高；端部约束越弱，系统的频率越低.
随后考查不同半径与厚度的比值（a/h）对圆柱壳振动频率的影响，计算结果如图7所示.可知圆柱壳的振动频率随着a/h增加，会呈现先快速减小而后缓慢减小的变化趋势.
图8 不同流体环境密度的计算结果
Fig.8 Results in various fluid densities
图9 频率的实部随流速的变化
Fig.9 Variation of real part of frequencies with flow velocity
图10 频率的虚部随流速的变化
Fig.10 Variation of imaginary part of frequencies with flow velocity
最后讨论流体环境密度ρ对结构振动频率的影响，结果如图8所示.可知圆柱壳的振动频率随着ρ的增加而减小.
3 同轴圆柱壳的流弹失稳分析
考虑U_i =U_o=U时，在给定参数下求解（22）式获得系统频率.对于两端约束的圆柱壳结构，当频率的实部Re（ω）＞0、虚部Im（ω）=0，系统沿着径向屈曲发散失稳；当频率的实部Re（ω）＞0、虚部Im（ω）≠0时，系统颤振失稳.系统频率的实部与虚部随流速的变化如图9、10所示，同时给出了不同n值时的失稳模态.对于n=1，当U=¹U_cr=185.4（m/s）时，频率实部为零到正值变化的临界点，而虚部为正值到零变化的临界点，系统发生发散失稳，同理可得²U_cr=98.2（m/s）、³U_cr= 64.2（m/s）、⁴U_cr=57.1（m/s）.对比不同阶数的结构失稳模态与真空中的模态，两者之间差别很小.
图11 本文方法与行波法的计算结果比较
Fig.11 Comparison of results between by the present method and traveling wave method
图12 不同流速下的自由振动响应
Fig.12 Free vibration response at different flow velocities
为与本方法计算的发散失稳流速进行比较，利用文献^[8]的TWM方法计算两端简支同轴圆柱壳的临界流速，结果如图11所示.文献^[15]研究了硅橡胶材质壳体在空气环境中的流弹失稳问题.为与其理论和实验结果进行对比，采用该文献中的计算参数，结果如表2所示.对比结果表明了本文方法计算圆柱壳流致失稳问题是准确的，且具有较高精度.
图13 U_i与U_o不同时存在时频率的虚部随流速的变化
Fig.13 Variation of imaginary part of frequency with velocity when U_i and U_o are not present at the same time
表2 本文计算结果与文献^[15]的对比
Table2 Comparison of results with Ref.^[15]
下面计算结构在临界流速附近的自由振动响应.在圆柱壳靠近端部处选取一点，给定初始位移为1mm、初始速度为0m/s，分别计算当流速U＜U_cr和U＞U_cr，n=4的自由振动响应，结果如图12所示.可知当U＜U_cr时，响应逐渐衰减至初始位置；而U＞U_cr时，响应由初始位移呈现指数形式的迅速增大，表明系统已经处于发散失稳状态.
下面分别考查U_i =0，U_o≠0及U_i ≠0，U_o=0两种情况，同轴圆柱壳系统临界失稳流速的变化.当n=4时，系统发散失稳临界流速和模态的计算结果如图13所示.可知当U_o=0时，⁴U_icr=85m/s，而当U_i =0，⁴U_ocr=77.6m/s；故在一定的环腔间隙下，环腔流体作用使得系统更容易发生发散失稳.由失稳模态比较可知，两种工况下的失稳流速虽然不同，环腔流体对失稳模态未有明显改变.
之后考虑轴心到外壳的距离b对失稳流速的影响，计算结果如图14所示.由图可知，ⁿU_cr随b的增加而增加，这意味着环腔间隙越大，失稳流速也越高，增大环腔间隙会使系统更为稳定.
图14 不同b时系统的失稳流速
Fig.14 Instability velocities of different b
图15 不同流体密度时系统的失稳流速
Fig.15 Instability velocities of different fluid densities
最后讨论流体密度ρ对失稳流速的改变情况，计算结果如图15所示.由图可知，与频率的变化规律类似，ⁿU_cr随着ρ的增加而减小，这意味着较重的流体更容易诱发结构失稳.
4 结论
本文基于有限差分法研究了同轴圆柱壳结构的流致振动及失稳问题.获得了如下结论：
（1）本文方法在求解两端约束同轴圆柱壳结构流致振动问题时具有计算精度高、边界条件处理简单等优点，对工程问题有良好的应用前景.
（2）对于两端简支的圆柱壳，其振动频率随着半径与厚度的比值（a/h）的增加而减小，但减小趋势逐渐放缓；流体环境对结构的振动频率有着显著的影响，其振动频率随着流体环境密度的增加而减小.
（3）系统临界失稳速度与内腔及环腔的流动形式密切相关，环腔流体比内腔流体更容易导致同轴圆柱壳的流致失稳；各种工况下的失稳模态均未表现出显著变化，失稳模态与其对应空气中的模态几乎相同；系统的失稳流速随着轴心到外壳的距离b的增加而增加；且与频率的变化情况类似，失稳流速随着流体密度的增加而减小.
（4）本文仅考虑了内壳为弹性体的情况.事实上，本文方法也扩展用于内外两壳均为弹性体的情况，这也是作者正在开展的工作.
参考文献
- [1] 马文赛,吕书锋,杨绍武,等.环形天线结构的复杂动力学研究 [J].动力学与控制学报,2022,20(3):40-49.MA W S,LV S F,YANG S W,et al.Research on complex dynamics of a circular antenna structure [J].Journal of Dynamics and Control,2022,20(3):40-49.(in Chinese)
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- [7] BOCHKAREV S A,MATVEENKO V P.The dynamic behaviour of elastic coaxial cylindrical shells conveying fluid [J].Journal of Mathematics and Mechanics,2010,74(4):467-474.
- [8] 席志德,陈炳德,李朋洲,等.输送流体的同心圆筒结构动力学特性研究 [J].工程力学，2008,25(11):218-222.XI Z D,CHEN B D,LI P Z,et al.Study on dynamic characteristics of concentric cylinder structure conveying fluid [J].Engineering Mechanics,2008,25(11):218-222.(in Chinese)
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- [15] CHEBAIR A EL,PAÏOUSSIS M P,MISRA A K.Experimental study of annular-flow-induced instabilities of cylindrical shells [J].Journal of Fluids and Structures,1989,4(3):349-364.

基本信息

中图分类号: U661
文献标识码: A
DOI: 10.6052/1672-6553-2022-070
文章编号: 1672-6553-2023-21(9)-059-008

基金信息

国家自然科学基金资助项目(12072298,11772273,12172311)；
National Natural Science Foundation of China (12072298,11772273,12172311)；

引用信息

稿件历史

收稿日期: 2022-10-15

参考文献

[1] 马文赛,吕书锋,杨绍武,等.环形天线结构的复杂动力学研究 [J].动力学与控制学报,2022,20(3):40-49.MA W S,LV S F,YANG S W,et al.Research on complex dynamics of a circular antenna structure [J].Journal of Dynamics and Control,2022,20(3):40-49.(in Chinese)
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[6] 王建立,沈孟育.固支-简支端部边界条件下同轴圆柱壳体的流致不稳定性研究 [J].原子能科学技术,2003,37(1):73-75.WANG J L,SHEN M Y.Flow induced instability of coaxial cylindrical shells with clamped-simply boundary conditions [J].Atomic Energy Science and Technology,2003,37(1):73-75.(in Chinese)
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[15] CHEBAIR A EL,PAÏOUSSIS M P,MISRA A K.Experimental study of annular-flow-induced instabilities of cylindrical shells [J].Journal of Fluids and Structures,1989,4(3):349-364.

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基于有限差分法的端部约束同轴圆柱壳的流致失稳分析*

Analysis of Flow Induced Instability of Coaxial Cylindrical Shells with End Constraints by Finite Difference Method*

摘要

Abstract

关键词

Keywords

1 理论模型与计算方法

1.1 理论计算模型

(1)

(2)

(3)

(4)

1.2 有限差分法离散圆柱壳方程

(5)

(6)

(7)

(8)

1.3 流体力的计算

(9)

(10)

(11)

(12)

1.4 流体力的离散

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

2 固有特性分析

3 同轴圆柱壳的流弹失稳分析

4 结论

参考文献

基本信息

基金信息

引用信息

稿件历史

参考文献

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