引言

用奇异Lagrange函数描述的系统称为奇异系统，奇异Lagrange系统在过渡到相空间用Hamilton正则变量描述时，其正则变量之间存在固有约束，称为约束Hamilton系统^[1].自然界基本相互作用中的量子动力学（QED）、量子味动力学（QFD）、量子色动力学（QCD）和引力理论（GR）都是由位形空间中的奇异Lagrange量来描述的，当过渡到相空间描述时即可归为约束Hamilton系统.奇异系统与凝聚态理论、规范场理论、相对论运动粒子、超重力与超弦理论等都有紧密的联系，因此奇异系统的基本理论在物理学中，特别是在现代量子场论中有着举足轻重的地位^[1-3].Dirac^[4]首先研究奇异Lagrange系统的正则方程，Bergmann等人也为该系统的动力学与量子化奠定了基础.

对称性与守恒量有助于揭示动力学系统内在的物理性质，1979年Lutzky^[5]首次将Lie方法引入动力学系统，研究了二阶动力系统在无限小变换下时间，坐标以及速度的不变性.之后Lie对称性也应用到其他领域，如Menini^[6]利用Lie对称性的方法研究机器人逆运动学问题.近年来Lie对称性与守恒量的研究也取得了丰硕成果^[7-16]，特别地，Mei和Zhu^[10]首先研究了奇异Lagrange系统的Lie对称性与守恒量，2001年张毅和薛纭进一步研究了仅含第二类约束的约束Hamilton系统的Lie对称性与守恒量^[11].

分数阶微积分在当今各个领域有着广泛的应用，例如流体力学、核磁共振成像、复杂粘弹性材料力学等都与其有着密切的联系^[17-21].相比于整数阶模型，分数阶模型可以更加准确地描述复杂系统的动力学过程，比如过程具有历史记忆和空间相关性，其中应用较为广泛的主要有Riemann-Liouville分数阶算子、Caputo分数阶算子、Riesz分数阶算子.1996年Riewe^[22，23]首次将分数阶微积分应用于非保守力学系统动力学的研究，提出并初步研究了分数阶变分问题，建立了分数阶Hamilton方程和分数阶Lagrange方程.随后，Frederico和Lazo^[24]研究混合整数和Caputo分数阶导数的分数阶变分问题，建立了对应的分数阶Euler-Lagrange方程，Agrawal^[25]建立了Caputo分数阶导数对应的分数阶Euler-Lagrange方程.近年来，分数阶Lie对称性也取得一系列的重要成果^[26，27]，Zhou等人研究了分数阶Hamilton系统的Lie对称性和守恒量^[28]，Fu和Sun等人也研究了非完整分数阶Hamilton系统的Lie对称性及其逆问题^[29，30].Song和Zhang^[31]基于El-Nabulsi模型研究了分数阶Birkhoff系统的Lie对称性与Hojman守恒量和Noether守恒量.最近，Song^[32]率先研究了包含混合整数和Caputo分数阶导数以及仅含Caputo分数阶导数的两个分数阶奇异系统，并建立了分数阶初等约束以及分数阶约束Hamilton方程.然而上述两个系统的Lie对称性与守恒量的研究目前尚未涉及，本工作将基于上述两种分数阶奇异系统，利用两个分数阶约束Hamilton方程在无限小变换下微分方程的解的不变性建立并证明了分数阶约束Hamilton系统的Lie对称性定理，研究并给出相应的分数阶守恒量.

1 预备知识

1.1 Riemann-Liouville和Caputo分数阶导数的定义

给定函数f（t）以及任意两个常数α，β满足n-1≤α，β＜n，n是整数，则Riemann-Liouville和Caputo分数阶导数有如下形式：

1.2 混合整数和Caputo分数阶导数下的约束Ham-ilton系统

文献^[24]给出了分数阶拉格朗日函数L_W（t，${\mathit{q}}_W，{\dot{\mathit{q}}}_W{，}_{t1}^C{\mathit{D}}_t^{\alpha }{\mathit{q}}_W$），及相应的方程

其中，${\mathit{q}}_W=\left(q_{W1}，q_{W2}，\cdots ，q_{Wn}\right)，{\dot{\mathit{q}}}_W=\left({\dot{q}}_{W1}，{\dot{q}}_{W2}，\cdots ，\right.{\dot{q}}_{Wn}）$ ${，}_{t1}^C{\mathit{D}}_t^a{\mathit{q}}_W=\left({}_{t1}^C{D}_t^a{q}_{W1}，{}_{t1}^C{D}_t^a{q}_{W2}，\cdots {，}_{t1}^C{D}_t^a{q}_{Wn}\right)$.这里q_Wj为广义坐标，${\dot{q}}_{Wj}$为广义速度，${}_{t1}^C{D}_t^a{q}_{Wj}$为q_Wj的Caputo分数阶导数，j=1，2，···n，0＜α＜1.由文献^[32]我们定义以下的广义动量和Hamilton量：

由方程（5）可得对应的Hess矩阵

当det[H_Wij]=0，Hess矩阵[H_Wij]是退化的，设[H_Wij]的秩为R，0≤R＜n，然后由文献^[32]可得，混合整数和Caputo分数阶导数的初级约束为

则

这里

${\mathit{q}}_W=\left(q_{W1},q_{W2},\cdots ,q_{Wn}\right),{\mathit{p}}_W=\left(p_{W1},p_{W2},\cdots ,p_{Wn}\right),$

${\mathit{p}}_W^{\alpha }=\left(p_{W1}^{\alpha },{\mathit{p}}_{W2}^{\alpha },\cdots p_{Wn}^{\alpha }\right),a=\mathrm{1,\; 2},\cdots ,n-R,0⩽R<n,$

$i=\mathrm{1,\; 2},\cdots ,n\text{.}$

同时文献^[32]给出混合整数和Caputo分数阶导数下的约束Hamilton方程：

${\dot{q}}_{Wi}=\frac{\partial H_W}{\partial p_{Wi}}+{\lambda }_{Wa}\frac{\partial {\varphi }_{Wa}}{\partial p_{Wi}},$

${\dot{p}}_{Wi}=-\frac{\partial H_W}{\partial q_{Wi}}+{}_t^{RL}{D}_{t2}^{\alpha }{p}_{Wi}^{\alpha }-{\lambda }_{Wa}\frac{\partial {\varphi }_{Wa}}{\partial q_{Wi}},$

这里

$H_W=\left(t，{\mathit{q}}_W，{\mathit{p}}_W，{\mathit{p}}_W^{\alpha }\right)，{\mathit{q}}_W=\left(q_{W1}，q_{W2}，\cdots ，q_{Wn}\right)，{\mathit{p}}_W=\left(p_{W1}，p_{W2}，\cdots ，p_{Wn}\right)，{\mathit{p}}_W^{\alpha }=\left(p_{W1}^{\alpha }，p_{W2}^{\alpha }，\cdots ，\right.\left.p_{W_n}^{\alpha }\right)，$ ${\lambda }_{W_a}\text{是 Lagrange 乘子}a=\mathrm{1，2}，\cdots ，n-R，0⩽R<n，i=\mathrm{1，2}，\cdots n\text{.}$

需要注意的是当Lagrange乘子λ_Wa不能解出来时，方程（11）就不能确定，因此本文考虑分数阶约束Hamilton系统^[32]仅含第二类约束，即假设约束（9）式为第二类约束^[2]，于是方程（11）中所有的Lagrange乘子λ_Wa都完全确定.

1.3 Caputo分数阶导数下的约束Hamilton系统

文献^[25]给出函数$L_U\left(t，{\mathit{q}}_U{，}_{t1}^{\mathrm{C}}{\mathit{D}}_t^a{\mathit{q}}_U\right)$，并且得到相应的方程

$\frac{\partial L_U\left(t,{\mathit{q}}_U{，}_{t1}^{\mathrm{C}}{\mathit{D}}_t^a{\mathit{q}}_U\right)}{\partial q_{Ui}}+{}_t^{RL}{D}_{t2}^{\alpha }\frac{\partial L_U}{{\partial }_{t1}^C{D}_t^{\alpha }{q}_{Ui}}=0,$

这里${\mathit{q}}_U=\left(q_{U1}，q_{U2}，\cdots ，q_{Un}\right)，{}_{t1}^C{\mathit{D}}_t^{\alpha }\mathit{q}=\left({}_{t1}^C{D}_t^{\alpha }{q}_{U1}，{}_{t1}^C{D}_t^{\alpha }{q}_{U2}，\right.\left.\cdots ，{}_{t1}^C{D}_t^{\alpha }{q}_{Un}\right)$，q_Uj是广义坐标，${}_{t1}^C{D}_t^{\alpha }{q}_{Uj}$为$q_{Uj}$的Caputo分数阶导数，j=1，2，$\cdots$n，0＜α＜1，由文献^[32]我们定义以下的广义动量和Hamilton量：

$H_U=p_{Ui}\cdot {}_{t1}^C{D}_t^{\alpha }{q}_{Ui}-L_U\left(t,{\mathit{q}}_U{，}_{t1}^{\mathrm{C}}{\mathit{D}}_t^a{\mathit{q}}_U\right)$

这里考虑L_U（t，$q_U{，}_{t1}^{\mathrm{C}}{\mathit{D}}_t^a{q}_U$）是奇异的，即${}_{t1}^C{D}_t^{\alpha }{q}_{Ui}$只有一部分能解出来，假设可以解出个R个${}_{t1}^C{D}_t^{\alpha }{q}_{Ui}$，0≤R＜n. 在上述条件下，由文献^[32]可得Caputo分数阶约束Hamilton系统的初级约束为

${\varphi }_{Ua}\left(t,q_{Uj},p_{Uj}\right)=0,$

则

同时由文献^[32]可得Caputo分数阶约束Hamilton方程：

${}_{t1}^C{D}_t^{\alpha }{q}_{Ui}=\frac{\partial H_U}{\partial p_{Ui}}+{\lambda }_{Ua}\frac{\partial {\varphi }_{Ua}}{\partial p_{Ui}},$

这里

$H_U=\left(t，{\mathit{q}}_U，{\mathit{p}}_U\right)，{\mathit{q}}_U=\left(q_{U1}，q_{U2}，\cdots ，q_{Un}\right)，{\mathit{p}}_U=\left(p_{U1}，p_{U2}，\cdots ，p_{Un}\right)，$ ${\lambda }_{Ua}$ $\text{是 Lagrange 乘子，}a=\mathrm{1，2}，\cdots ，n-R，0⩽R<n，i=\mathrm{1，2}，\cdots n\text{.}$

同理，当Lagrange乘子λ_Wa不能解出来时，方程（17）就不能确定，因此本文考虑分数阶约束Hamilton系统^[32]仅含第二类约束，即假设约束（15）式为第二类约束^[2]，于是方程（17）中所有的Lagrange乘子λ_Wa都完全确定.

2 混合整数和Caputo分数阶导数下的Lie对称性和守恒量

2.1 混合整数和Caputo分数阶导数的Lie对称性

引入无限小变换群

$t^{*}=t+\mathrm{\Delta }t,q_{W_i}^{*}\left(t^{*}\right)=q_{W_i}\left(t\right)+\mathrm{\Delta }{q}_{W_i},$

$p_{Wi}^{\alpha }*\left(t^{*}\right)=p_{Wi}^a\left(t\right)+\mathrm{\Delta }{p}_{Wi}^a,$

其展开式为

$t^{*}=t+{\theta }_W{\xi }_{W0}\left(t,{\mathit{q}}_W,{\mathit{p}}_W,{\mathit{p}}_W^{\alpha }\right)+o\left({\theta }_W\right)$

$q_{Wi}^{*}\left(t^{*}\right)=q_{W_i}\left(t\right)+{\theta }_W{\xi }_{Wi}\left(t,{\mathit{q}}_W,{\mathit{p}}_W,{\mathit{p}}_W^{\alpha }\right)+o\left({\theta }_W\right)$

$p_{Wi}^{*}\left(t^{*}\right)=p_{Wi}\left(t\right)+{\theta }_W{\eta }_{Wi}\left(t,{\mathit{q}}_W,{\mathit{p}}_W,{\mathit{p}}_W^{\alpha }\right)+o\left({\theta }_W\right)$

其中，θ_W是无限小参数，i=1，2，$\cdots$n，ξ_W0，ξ_Wi，η_Wi，${\eta }_{Wi}^{\alpha }$称为混合整数和Caputo分数阶导数的无限小生成元.

引入无限小生成元向量

展开方程（11），令

由方程式（21）在无限小变换式（19）下的不变性可得

$X_W^{\left(0\right)}\left(s_{Wi}\right){=}_{t_1}^C{D}_t^{\alpha }\left({\xi }_{Wi}-{\dot{q}}_{Wi}{\xi }_{W0}\right)+$

$X_W^{\left(0\right)}\left(f_{Wi}\right)=-{\dot{p}}_{Wi}{\dot{\xi }}_{W0}+{\dot{\eta }}_{Wi}-{}_t^{RL}{D}_{t2}^{\alpha }\left({\eta }_{Wi}^a-\right.$

$\left.{\dot{p}}_{Wi}^a{\xi }_{W_0}\right)-{\xi }_{W0}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{}_t^{RL}{D}_{t2}^{\alpha }{p}_{Wi}^a+$

约束式（9）在无限小变换式（19）下的不变性归结为

称式（22）~式（24）为确定方程，式（25）为限制方程.

定义1  若无限小生成元ξ_W0，ξ_Wi，η_Wi，${\eta }_{Wi}^a$满足确定方程（22）~（24），则称相应的对称性为混合整数和Caputo分数阶导数的分数阶约束Hamilton系统相应的自由Hamilton系统（11）式的Lie对称性.

定义2  若无限小生成元ξ_W0，ξ_Wi，η_Wi，${\eta }_{Wi}^a$满足确定方程（22）~（24）和限制方程（25），则称相应的对称性为混合整数和Caputo分数阶导数的分数阶约束Hamilton系统的弱Lie对称性.

单从微分方程在无限小变换下的不变性考虑，上述定义的弱Lie对称性就是通常理解的Lie对称性.但若考虑到微分方程的导出过程，需对无限小生成元施加另外的限制即式（10），所以必须定义另外的Lie对称性.

将由变换（19）确定的等时变分代入式（10），有

$\frac{\partial {\varphi }_{W_a}}{\partial q_{W_i}}\left({\xi }_{W_i}-{\dot{q}}_{W_i}{\xi }_{W_0}\right)+\frac{\partial {\varphi }_{W_a}}{\partial p_{W_i}}\left({\eta }_{W_i}-{\dot{p}}_{W_i}{\xi }_{W_0}\right)+$

称方程（26）为附加限制方程.

定义3  若无限小生成元ξ_W0，ξ_Wi，η_Wi，${\eta }_{Wi}^a$满足确定方程（22）~（24），限制方程（25）和附加限制方程（26），则称相应的对称性为混合整数和Caputo分数阶导数的分数阶约束Hamilton系统的强Lie对称性.

2.2 混合整数和Caputo分数阶导数的守恒量

对于分数阶约束Hamilton系统，Lie对称性不一定导致守恒量，然而在一些条件下，可以由Lie对称性推出守恒量，并且不同的条件导致的守恒量也不同.下面将给出弱Lie对称性守恒量和强Lie对称性守恒量.

定理1 对于满足确定方程（22）~（24）的无限小生成元ξ_W0，ξ_Wi，η_Wi，${\eta }_{Wi}^a$，如果存在规范函数G_W=G_W（t，q_W，p_W，$p_W^a$）满足结构方程

$p_{Wi}{\dot{\xi }}_{Wi}+p_{Wi}^a{}_{t1}^C{D}_t^{\alpha }\left({\xi }_{Wi}-{\dot{q}}_{Wi}{\xi }_{W0}\right)+$

$\left(p_{Wi}^{\alpha }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{}_{t1}^C{D}_t^{\alpha }{q}_{Wi}-\frac{\partial H_W}{\partial t}\right){\xi }_{W0}-\frac{\partial H_W}{\partial q_{Wi}}{\xi }_{Wi}+$

$\left(p_{Wi}^{\alpha }{}_{t1}^C{D}_t^{\alpha }{q}_{Wi}-H_W\right){\dot{\xi }}_{W0}-$

$\frac{p_{Wi}^{\alpha }{\left(t-t_1\right)}^{-\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(1-\alpha )}{\dot{q}}_{Wi}\left(t_1\right){\xi }_{W0}\left(t_1\right)+$

则与混合整数和Caputo分数阶导数的分数阶约束Hamilton系统相应的自由Hamilton系统（11）式存在如下形式的守恒量：

$I_W=p_{Wi}{\xi }_{Wi}+\left(p_{Wi}^a{}_{t1}^C{D}_t^{\alpha }{q}_{Wi}-H_W\right){\xi }_{W0}+$

${\int }_{t1}^t\left[p_{Wi}^a{}_{t1}^C{D}_{\tau }^{\alpha }\left({\xi }_{Wi}-{\dot{q}}_{Wi}{\xi }_{W0}\right)-\left({\xi }_{Wi}-\right.\right.$

$\left.{\left.{\dot{q}}_{Wi}{\xi }_0\right)}_{\tau }^{RL}{D}_{t2}^{\alpha }{p}_{Wi}^{\alpha }\right]\mathrm{d}\tau -{\int }_{t1}^t\frac{p_{Wi}^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(1-\alpha )}(\tau -$

证明：由式（9）~式（11）和式（27）得$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{I}_W$=0.

定理2 对于满足确定方程（22）~（24）和限制方程（25）的无限小生成元ξ_W0，ξ_Wi，η_Wi，${\eta }_{Wi}^a$，如果存在规范函数G_W=G_W（t，q_W，p_W，${\mathit{p}}_W^{\alpha }$）满足结构方程（27），则混合整数和Caputo分数阶导数的分数阶约束Hamilton系统存在形如式（28）的弱Lie对称性守恒量.

定理3 对于满足确定方程（22）~（24），限制方程（25）和附加限制方程（26）的无限小生成元ξ_W0，ξ_Wi，η_Wi，${\eta }_{Wi}^a$，如果存在规范函数G_W=G_W（t，q_W，p_W，${\mathit{p}}_W^{\alpha }$）满足结构方程，则混合整数和Caputo分数阶导数的分数阶约束Hamilton系统存在形如式（28）的强Lie对称性守恒量.

3 Caputo分数阶导数的Lie对称性和守恒量

3.1 Caputo分数阶导数的Lie对称性

引入无限小变换群

$t^{*}=t+\mathrm{\Delta }t\text{,}$

$q_{Ui}^{*}\left(t^{*}\right)=q_{Ui}\left(t\right)+\mathrm{\Delta }{q}_{Ui},$

其展开式为

$t^{*}=t+{\theta }_U{\xi }_{U0}\left(t,{\mathit{q}}_U,{\mathit{p}}_U\right)+o\left({\theta }_U\right)$

$q_{Ui}^{*}\left(t^{*}\right)=q_{Ui}\left(t\right)+{\theta }_U{\xi }_{Ui}\left(t,{\mathit{q}}_U,{\mathit{p}}_U\right)+o\left({\theta }_U\right)$

其中，θ_U是无限小参数，ξ_U0，ξ_Ui，η_Ui是无限小生成元.

引入无限小生成元向量

展开方程（17），令

由方程（32）在无限小变换（30）下的不变性可得

${}_{t1}^C{D}_t^{\alpha }\left({\xi }_{Ui}-{\dot{q}}_{Ui}{\xi }_{U0}\right)+{\xi }_{U0}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{}_{t1}^C{D}_t^{\alpha }{q}_{Ui}-$

${}_t^{RL}{D}_{t2}^{\alpha }\left({\eta }_{Ui}-{\dot{p}}_{Ui}{\xi }_{U0}\right)+{\xi }_{U0}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{}_t^{RL}{D}_{t2}^{\alpha }{p}_{Ui}-$

约束（15）式在无限小变换（30）下的不变性归结为

称式（33）和式（34）为确定方程，式（35）为限制方程.

定义4  若无限小生成元ξ_U0，ξ_Ui，η_Ui满足确定方程（33）和（34），则称相应的对称性为Caputo分数阶导数的约束Hamilton系统相应的自由Hamilton系统（17）式的Lie对称性.

定义5  若无限小生成元ξ_U0，ξ_Ui，η_Ui满足确定方程（33）、方程（34）和限制方程（35），则称相应的对称性为Caputo分数阶导数的约束Hamilton系统的弱Lie对称性.

单从微分方程在无限小变换下的不变性考虑，上述定义的弱Lie对称性就是通常理解的Lie对称性.但若考虑到微分方程的导出过程，需对无限小生成元施加另外的限制即式（16），所以必须定义另外的Lie对称性.

将由变换（30）确定的等时变分代入式（16），有

称方程（36）为附加限制方程.

定义6  若无限小生成元ξ_U0，ξ_Ui，η_Ui满足确定方程（33）、方程（34）、限制方程（35）和附加限制方程（36），则称相应的对称性为Caputo分数阶导数的约束Hamilton系统的强Lie对称性.

3.2 Caputo分数阶导数的守恒量

对于Caputo分数阶导数的约束Hamilton系统，Lie对称性不一定导致守恒量，然而在一些条件下，可以由Lie对称性推出守恒量，并且不同的条件导致的守恒量也不同.下面将给出弱Lie对称性守恒量和强Lie对称性守恒量.

定理4  对于满足确定方程（33）和（34）的无限小生成元ξ_U0，ξ_Ui，η_Ui，如果存在规范函数G_U=G_U（t，q_U，p_U）满足结构方程

$p_{Ui}^{}{}_{t1}^C{D}_t^{\alpha }\left({\xi }_{Ui}-{\dot{q}}_{Ui}{\xi }_{U0}\right)+\left(p_{Ui}^{}{}_{t1}^C{D}_t^{\alpha }{q}_{Ui}-H_U\right){\dot{\xi }}_{U0}+$

${\lambda }_{Ua}\frac{\partial {\varphi }_{Ua}}{\partial p_{Ui}}{\eta }_{Ui}-\frac{p_{Ui}}{\mathrm{\Gamma }(1-\alpha )}{\left(t-t_1\right)}^{-\alpha }{\dot{q}}_{Ui}\left(t_1\right){\xi }_{U0}\left(t_1\right)+$

则与Caputo分数阶导数的约束Hamilton系统相应的自由Hamilton系统（17）式存在如下形式的守恒量：

$I_U=\left(p_{Ui}^{}{}_{t1}^C{D}_t^{\alpha }{q}_{Ui}-H_U\right){\xi }_{U0}+{\int }_{t1}^t\left[p_{Ui}^{}{}_{t1}^C{D}_t^{\alpha }\left({\xi }_{Ui}-\right.\right.$

$\left.\left.{\dot{q}}_{Ui}{\xi }_{U0}\right)-{\left({\xi }_{Ui}-{\dot{q}}_{Ui}{\xi }_{U0}\right)}_{\tau }^{RL}{D}_{t2}^{\alpha }{p}_{Ui}\right]\mathrm{d}\tau -$

${\int }_{t_1}^t\frac{p_{Ui}}{\mathrm{\Gamma }(1-\alpha )}{\left(\tau -t_1\right)}^{-\alpha }{\dot{q}}_{Ui}\left(t_1\right){\xi }_{U0}\left(t_1\right)\mathrm{d}\tau +$

证明：由式（15）~（17）和式（37）得$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{I}_u$=0.

定理5  对于满足确定方程（33）、方程（34）和限制方程（35）的无限小生成元ξ_U0，ξ_Ui，η_Ui，如果存在规范函数G_U=G_U（t，q_U，p_U）满足结构方程（37），则Caputo分数阶导数的约束Hamilton系统存在形如式（38）的弱Lie对称性守恒量.

定理6  对于满足确定方程（33）、方程（34）、限制方程（35）和附加限制方程（36）的无限小生成元ξ_U0，ξ_Ui，η_Ui，如果存在规范函数G_U=G_U（t，q_U，p_U）满足结构方程，则Caputo分数阶导数的约束Hamilton系统存在形如式（38）的强Lie对称性守恒量.

4 算例

例1 系统的Lagrange函数为

$L_W={\dot{q}}_{W1}{q}_{W2}-q_{W1}{\dot{q}}_{W2}+q_{W1}^2+q_{W2}^2+$

试研究该系统的Lie对称性与守恒量.

由式（6）和式（7）得系统的广义动量和Hamilton量

$p_{W1}=\frac{\partial L_W}{\partial {\dot{q}}_{W1}}=q_{W2},p_{W2}=\frac{\partial L_W}{\partial {\dot{q}}_{W2}}=-q_{W1}$

$p_{W1}^{\alpha }=\frac{\partial L_W}{{\partial }_{t1}^C{D}_t^{\alpha }{q}_{W1}}={}_{t1}^C{D}_t^{\alpha }{q}_{W1}$

$p_{W2}^{\alpha }=\frac{\partial L_W}{{\partial }_{t1}^c{D}_t^{\alpha }{q}_{W2}}={}_{t1}^C{D}_t^{\alpha }{q}_{W2}$

$H_W=p_{W1}{\dot{q}}_{W1}+p_{W2}{\dot{q}}_{W2}+p_{W1}^{\alpha }{}_{t1}^C{D}_t^{\alpha }{q}_{W1}+$

$p_{W2}^{\alpha }{}_{t1}^C{D}_t^{\alpha }{q}_{W2}-L_W=\frac{1}{2}\left[{\left(p_{W1}^{\alpha }\right)}^2+{\left(p_{W2}^{\alpha }\right)}^2\right]-$

由det[H_Wij]=0，可得Lagrange函数是奇异的，故由式（9）得到两个约束^[32]

并且由约束的相容性条件可得Lagrange乘子^[32]

${\lambda }_{W1}=-q_{W2}-\frac{1}{2}{}_t^{RL}{D}_{t2}^{\alpha }{p}_{W2}^{\alpha }$