引言

斜拉索是斜拉桥的关键构件，斜拉索在重力作用下的几何形态及其索力、索长等静力参数是工程中关注的问题.重力作用下斜拉索几何形态的研究主要有抛物线和悬链线两种构形.然而以往这两种构形的研究大多都基于弹性梁模型，假设索是完全柔性的，忽略了抗弯刚度对斜拉索变形的影响.而考虑抗弯刚度的弹性细杆从直杆转变为悬垂状态是大变形过程，不能用常规的弹性梁模型理论描述^[1，2]，基于Kirchhoff动力学比拟的超细长弹性杆理论适用于描述这种大变形问题，为弹性杆的大变形研究提供了理论框架.随着斜拉桥跨度增加斜拉索长度也不断增加，其变形行为表现出大变形大范围运动^[3，4]，故本文将基于超细长弹性杆理论，考虑拉伸与抗弯刚度耦合影响，研究其平衡状态下的几何形态及静力参数.

超细长弹性杆模型在宏观和微观领域具有广泛的应用背景，例如海底电缆、高压输电线、绳索、弹簧、石油工程中的钻杆和抽油杆、纳米纤维和纳米管、攀缘类植物的茎等^[5，6].近年来，由于超细长弹性模型成功的描述了DNA分子的超螺旋几何形态而重新引起学者的关注.关于超细长弹性杆理论在DNA力学的应用可参考刘延柱的专著^[6]及其内的参考文献.Goriely^[7]对弹性细杆在生物生长问题的建模和应用做了系列工作.薛纭等^[8，9]对Kirchhoff弹性细杆的分析力学建模方法及其在Cosserat弹性杆中的扩展做了系统工作.Goyal ^[10]以DNA环和海底电缆为背景，研究了Kirchhoff弹性杆的超螺旋环的动态形成问题.文献^[11]研究提出了一种非对称截面Kirchhoff弹性细杆模型的简化方法.文献^[12，13]研究了粘弹性及生长因素对超细长弹性杆屈曲的影响.然而目前尚未见超细长弹性杆作为斜拉索力学模型的研究，而随着斜拉桥跨度的不断增加斜拉索的索长不断增加，其变形表现为大变形大范围运动^[3，4]，超细长弹性杆模型将为模拟其大变形行为提供有效工具.

本文基于超细长弹性杆模型，建立了考虑弹性拉伸和抗弯刚度因素耦合时斜拉索在重力作用下的平衡方程，利用等效弹性模量给出斜拉索在弹性拉伸和抗弯刚度耦合作用下的几何形态的近似表达，并讨论其两种退化情形，即仅考虑弹性拉伸或抗弯刚度两种特殊情形下的斜拉索几何构形及其索力、索长.最后以苏通大桥斜拉索和某实验室斜拉索实际参数为例，分别计算了以上三种情形下所得结果对应的斜拉索的静力参数，并通过图表对比了弹性拉伸和抗弯刚度对斜拉索几何形态的影响.

1 斜拉索的超细长弹性杆模型

大跨度桥梁斜拉索的长度远大于其截面的尺度，表现为极端细长性，可将斜拉索看作刚性圆截面的超细长弹性杆，以其中心线上任一点为原点建立弧坐标s₀，根据Kirchhoff动力学比拟，可将弹性杆看作以弧坐标s₀为自变量的离散系统，其位形可以比拟为截面沿其中心线运动形成.斜拉索的始端和终端以O和O₁表示，其平衡时的挠性线与弹性杆的中心线位形重合，如图1所示.l为水平跨度，h为垂直高度，L为两端间的距离，两端点固定铰支.以O为原点，沿弹性杆中心线向上端点O₁建立弧坐标s₀，以确定中心线上任意截面形心P的位置.为了确定截面的位置和姿态，以O为原点建立固定坐标系（O-xyz），其中z轴垂直于O-xy平面，以及固结于截面形心的Frenet坐标系（P-NBT），T、N和B为P点处中心线的切线轴、法线轴和副法线轴，分别以e_T、e_N、e_B代表其单位矢量，e_B=e_T×e_N，当截面运动至P点时，此时截面的Frenet坐标系的切线轴T与固定坐标系的x轴在O-xy平面上的夹角为φ.设P′为无限接近P点的临近点，P′和P点相对参考点O的矢径分别为r和r+Δr，弧坐标分别为s₀和s₀+Δs₀，如图2所示.分析弹性杆微元段PP′的平衡条件，设P点处的截面受到的临近截面的内力主矢和主距为（F+ΔF）和（M+ΔM），P′点处的截面受到临近截面的内力主矢和主距为-F和-M，单位长度杆所受到的重力为mg，在平衡时上述作用力对P点简化的内力主矢和主距应为零，当仅保留一阶小量时，导出

将上式各项除以Δs₀，Δs₀→0时

从式（1a），（1b）中可以导出斜拉索弹性杆的平衡方程

将求导过程改为相对截面的Frenet坐标系（P-NBT）进行，得

式中的波浪号表示变量相对动坐标系（P-NBT）的局部导数，ω为弯扭度^[6]，表示为

其中κ、τ和χ为在P点处弹性杆的曲率、挠率和截面相对Frenet坐标系扭转的角度.

为使以上方程封闭，我们需引入主矩的本构关系.假设弹性杆无原始曲率和扭率，则杆截面的主矩可表达为

式中E和G为杨氏模量和剪切模量，I和I_T为截面的惯性矩和极惯性矩.以上方程结合适当的边界条件即可解出弹性细杆的位形.

考虑杆弹性拉伸时，假设杆P点处截面位置由s₀变化到s，引入拉伸比

则在当前位形中弹性细杆平衡方程可表达为

此时除了满足主矩的本构关系（7），还需附加轴向力的本构关系

式中A为拉索截面积.斜拉索在平面内变形，且杆截面无扭转，则

本构方程（7）变为

式中φ′为截面转角对弧坐标s的变化率，即斜拉索中心线的曲率κ，撇号表示对弧坐标s的导数.将式（11），式（12）带入方程组（9），并向连体坐标系（P-NBT）的坐标轴投影，得到

分别将式（13a），（13b）与cosφ和sinφ相乘后相加，或与sinφ和cosφ相乘后相减，得

由式（14a）和（14b）可以导出斜拉索OP段沿x轴和y轴的初积分

式中F₀和F_A为斜拉索起始端O处张力的水平分力和竖向分力.利用式（15a）和（15b）消去F₃后，将F₁代入式（13c）得

通过式（16）求解出φ（s），进而就可以得到表示斜拉索位形的挠性线.

在实际设计中，斜拉索参数m，l，α，h往往是已知的，斜拉索水平分力F₀与斜拉索起始端O处竖向分力F_A不互相独立^[14]，其关系满足

2 超细长弹性杆的挠性线解

求解式（13）可得到超细长弹性杆的挠性线方程，本节分三种情况讨论其挠性线解，即仅考虑弹性拉伸，仅考虑抗弯刚度和同时考虑弹性拉伸和抗弯刚度耦合影响下的挠性线解.

2.1 只考虑弹性拉伸时超细长弹性杆的挠性线方程

当只考虑斜拉索弹性拉伸时，忽略拉索的抗弯刚度，即EI=0，由式（16）得

斜拉索微元段几何关系为

令$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\phi =\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\mathrm{s}\mathrm{h}u$，将式（19）代入式（18）后化简，并对x求导得

式中A为斜拉索的截面积，令β=mg/F₀，η=F₀/EA，式（18）简化成

设${\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|}_{x=0}=\mathrm{s}\mathrm{h}{u}_0，{\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|}_{x=l}=\mathrm{s}\mathrm{h}{u}_l$，由下端边界条件（x₀=0，y₀=0），式（20）可以改写为参数方程

再由斜拉索上端边界条件（x_l=l，y_l=h）得

由方程组（23）解出u₀和u_l后代入方程组（22），就可以得到用u来表示斜拉索张力、垂度及索长的函数表达式

式中S为斜拉索长度，下同.

2.2 只考虑抗弯刚度时超细长弹性杆的挠性线方程

文献^[15，16]基于欧拉-伯努利梁模型，利用摄动法研究了斜拉索在一般竖向荷载作用下的静力学问题，本小节将基于Kirchhoff弹性细杆模型，利用摄动法求解斜拉索的几何形态及静力参数.

当只考虑抗弯刚度影响时，无弹性拉伸（s=s₀），则式（16）中α=1.定义以下无量纲变量和参数

对式（16）除以F₀，撇号改为对无量纲弧坐标$\widehat{s}$，可以得到关于φ（$\widehat{s}$）的无量纲公式

对于截面半径为r的斜拉索来说，m=ρA，A=πr²，I=πr⁴/4，ρ斜拉索的密度，故ε~r⁴/L³，由于斜拉索的两端间的距离远大于其半径且半径往往小于1，即$L\gg r$，r≤1，所以ε为小量，可以采用摄动法来求解式（26），将φ（$\widehat{s}$）展开成ε的幂级数

忽略二次以上小量，将式（27）代入式（26），仅保留ε的一次项，分离变量得

将式（28a）求解后，代入式（28b），可以得到φ（$\widehat{s}$）的一阶近似解

其中当ε=0时，上式即为斜拉索悬链线构形的描述规律.将式（29）恢复有量纲形式

定义变量T为

对式（31）求导可以得到

利用公式（32），忽略小量ε（···），可以得到弧坐标s和直角坐标x之间的关系式

其中C可以下端点边界条件可知

将式（33）代入式（32）得

积分得

由y（0）=0为初始条件积分得斜拉索的挠性线

其中：

$\begin{array}{c}{p}_1=\frac{L^3{\beta }^2\left\{3\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}(C+x\beta )-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left[\tanh \left(\frac{1}{2}C+\frac{1}{2}x\beta \right)\right]\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left[2\right(C+x\beta \left)\right]\right\}}{4\sqrt{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(C+x\beta {)}^2}}-\\ \frac{L^3{\beta }^2\{3\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}(C)-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}[\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(0.5C\right)]\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(2C\left)\right\}}{4\sqrt{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(C{)}^2}}\end{array}$

由式（37）可以发现，与传统悬链线解相比，多了一个小参数项εp₁.拉索任一点的垂度、张力及索长为

定义b_EI为抗弯刚度对斜拉索几何构形的影响因子.

通过影响因子b_EI的变化可以分析斜拉索抗弯刚度对其几何构形的影响.

2.3 考虑弹性拉伸和抗弯刚度耦合时超细长弹性杆的近似挠性线方程

在实际工程中为方便计算斜拉索弹性拉伸的影响，可以利用等效弹性模量，将实际弹性模量为E、垂度为f的斜拉索等效成弹性模量为E_eq的线性直杆，在斜拉索弹性伸长计算公式中计入垂度的影响.可以采用式（40）来计算等效弹性模量^[17]，进而计算斜拉索的拉伸比.

式中：

$\begin{array}{c}{a}_0=\frac{mgl}{2}tan\theta ,a_1=\frac{mgl}{\cos \theta }\\ a_2=\frac{mgl}{12\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }+\frac{mgl\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }{24},T_0=a_0+\frac{a_1}{\beta l}+a_2\beta l\end{array}$

则斜拉索的拉伸比α可以表示为

将式（41）代入式（16），如同2.2部分，运用摄动法求解，可以解得斜拉索的挠性线

式中：

$\begin{array}{c}{p}_2=\frac{L^3{\beta }^2\left\{3\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}[C-x\beta (-1+\gamma \left)\right]-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left[\tanh \left[\frac{1}{2}(C-x\beta (-1+\gamma \left)\right)\right]\right]\cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left[2\right(C-x\beta (-1+\gamma )\left)\right]\right\}}{4(1-\gamma )\sqrt{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}[C+x\beta (1-\gamma ){]}^2}}-\\ \frac{L^3{\beta }^2\{3\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}(C)-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\cdot [\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(0.5C\right)]\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(2C\left)\right\}}{4(1-\gamma )\sqrt{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(C{)}^2}}\end{array}$

$\gamma =\frac{F_0/E_{eq}A}{F_0/E_{eq}A+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }$，C与2.2部分相同.

由2.2部分可知，当式（42）中小参数项εp₂=0时，式（42）既变为仅考虑弹性拉伸时的近似表达式，如下所示

定义b_S为弹性拉伸对斜拉索几何构形的影响因子.

通过影响因子b_S的变化来分析斜拉索弹性拉伸对其几何构形的影响.

3 算例

选取主跨为1092m沪通铁路大桥最长拉索S36、最短拉索S1和文献^[18]中实验室拉索A为例，分别采用本文所给的计算公式和传统悬链线计算公式进行计算，分别计算了斜拉索两端张力、索长、跨中垂度、最大垂度以及其所处位置，并且根据式（39）和（44），还可以得到b_EI-l和b_S-F₀关系曲线.

拉索的各项参数如表1所示，在计算时借助MATLAB进行计算，其静力计算结果如表2所示.以S36斜拉索参数为例，令x=l/2，得到b_EI-l和b_S-F₀关系曲线，如图3、图4所示.

从由表2的数据可以看出，本文公式和传统悬链线和抛物线公式计算结果非常相近，从而验证了本文公式的正确性.

通过表2的数据对比，还可以得到以下结论：

（1）斜拉索最大垂度位置和跨中几乎重叠，静力分析时，跨中垂度可以作为最大垂度使用，当精度要求不高时，可忽略斜拉索弹性拉伸和抗弯刚度对其几何形态的影响.

（2）斜拉索的内张力沿索长变化，其中在斜拉索塔端最大，在斜拉索梁端最小.

（3）相较于抗弯刚度，斜拉索弹性拉伸变形对其几何构形的影响更大，对比图3、图4也可以得到这一结论.

由图3、图4可知在给定斜拉索参数情况下，斜拉索抗弯刚度对其几何构形的影响在斜拉索长度较短或张力较小时较大，随着索长的增加抗弯刚度的影响会先短暂的增大再减小，并且当索长达到一定值时，抗弯刚度的影响几乎不再随斜索长的增长会变化.抗弯刚度对斜拉索几何构形的影响也会随着索力的增加而减小，当F₀达到500kN时，抗弯刚度的影响将会小于0.1%.

斜拉索弹性拉伸对其几何构形的影响随索长的增大而增大，随着索力的增加而减小，而且当l大于150m时，弹性拉伸的影响会超过0.1%.因此，在斜拉索的研究中，当斜拉索索长较长时，弹性拉伸对其几何构型的影响应当考虑在内，当索力较小或索长较短时，例如观光平台的斜拉索，抗弯刚度对其几何形态的影响应当考虑在内.

4 结论

本文基于超细长弹性杆模型，考虑斜拉索弹性拉伸和抗弯刚度因素，建立了斜拉索在自重下的超细长弹性杆平衡方程，并分别讨论了以下三种情况下斜拉索挠性线方程，当仅考虑斜拉索弹性拉伸影响时，求得其挠性线方程与已有结论一致；当仅考虑抗弯刚度影响时，求得其挠性线方程与不考虑抗弯刚度时的结论相比多了一项一阶修正项；当同时考虑斜拉索弹性拉伸和抗弯刚度耦合影响时，利用等效弹性模量近似求解出其挠性线方程，并讨论了挠性线方程的解.

将以上三种情形下所得结果应用于实例，对比了抗弯刚度和弹性拉伸对斜拉索几何构形的影响，发现抗弯刚度对斜拉索几何构形的影响，会随着斜拉索张力和索长的增加而减小；弹性拉伸对斜拉索几何构形的影响随其索长的减小和索力的增加而减小；相较于抗弯刚度，弹性拉伸对斜拉索几何构形的影响更大.

本文基于超细长弹性杆模型讨论了斜拉索的静态平衡问题，而其动态行为亦是重要问题^{[3，4，19，20]}.我们将在将来工作中利用超细长弹性杆模型研究斜拉索的非线性振动问题.而基于Kirchhoff动力比拟的超细长弹性杆动力学具有时间和弧长双自变量^[6-9，12]，也必将为其振动研究带来新的问题.

附录：

以空间中的固定点O为原点，建立固定坐标系（O-xyz），对长度为L的细长弹性杆进行讨论，沿杆的中心线建立弧坐标s，P为弹性杆中心线上的任意一点，以P为原点建立Frenet坐标系（P-NBT），其中N、B和T为中心线的法线轴、副法线轴和切线轴，F为任意矢量.

设点P的弧坐标s有无限小位移Δs时，刚截面产生无限小转动位移矢量ΔΦ，令ΔΦ与Δs相除，将Δs→0时的极限记作弹性杆的弯扭度ω

$\omega =\underset{\mathrm{\Delta }s\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }\mathbf{\Phi }}{\mathrm{\Delta }s}$

当矢量F固结于刚截面时，刚截面的作无限小转动位移ΔΦ引起矢量F的无限小位移ΔF，由刚体无限小转动

$\mathrm{\Delta }\mathit{F}=\mathrm{\Delta }\mathbf{\Phi }\times \mathit{F}$

将上式与Δs相除，令Δs→0，导出

$\frac{\mathrm{d}\mathit{F}}{\mathrm{d}s}=\omega \times \mathit{F}$

当矢量F不固结于刚截面时，刚截面作无限小转动的同时，矢量F相对截面也发生运动，此时，矢量F相对弧坐标s 的变化率的一般公式为

$\frac{\mathrm{d}\mathit{F}}{\mathrm{d}s}=\frac{\tilde{\mathrm{d}}\mathit{F}}{\mathrm{d}s}+\omega \times \mathit{F}$

其中波浪号表示矢量F对Frenet坐标系（P-NBT）的局部导数.

参考文献