路面激扰与电磁激扰下电动轮车辆系统非线性全局动态特性研究

陈丽霞，石建飞

引 en

路面激扰与电磁激扰下电动轮车辆系统非线性全局动态特性研究^*

陈丽霞¹
机构：
1. 兰州石化职业技术大学汽车工程学院,兰州 730060
×
，石建飞²
机构：
2. 兰州理工大学机电工程学院,兰州 730050
×

1. 兰州石化职业技术大学汽车工程学院,兰州 730060；
2. 兰州理工大学机电工程学院,兰州 730050；

Nonlinear Global Dynamic Characteristics of Electric Wheeled Vehicle Systems with Pavement and Magnetic Excitations^*

Chen Lixia¹
Affiliation：
1. School of Automotive Engineering, Lanzhou Petrochemical University of Vocational Technology, Lanzhou 730060 , China
×
，Shi Jianfei²
Affiliation：
2. School of Mechanical and Electronical Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050 , China
×

1. School of Automotive Engineering, Lanzhou Petrochemical University of Vocational Technology, Lanzhou 730060 , China；
2. School of Mechanical and Electronical Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050 , China；

通讯作者:

陈丽霞,E-mail:clx17376140825@126.com

中图分类号:O322

文献标识码:A

文章编号:1672-6553-2022-21(6)-088-011

DOI:10.6052/1672-6553-2022-047

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出版信息

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目录contents

摘要 Abstract
关键词 Keywords
1 路面-电磁激励下电动轮车辆非线性动力学建模
2 路面激励与电磁激励
3 参数影响下系统多初值分岔特性
4 初值域内系统全局动力学行为及其演化规律
5 结论
参考文献

摘要

为研究电动轮车辆系统在路面-电磁联合激励下的非线性振动特性,并挖掘参数与初始条件协同作用下系统全局动力学信息,建立了计及悬架系统和轮胎的非线性弹簧力和阻尼力的电动轮车辆系统两自由度1/4垂向振动非光滑非线性时变动力学模型,考虑外部激励的谐波性和随机性以及电磁激励的分段周期性,得到了含谐波性、随机性和周期性的复杂外激励模型,分析了驱动电机转速与多初值的关联性对系统动力学共存行为及其分岔的影响规律,研究了共存运动的多样性及其吸引域的拓扑构型,揭示了转速对系统全局动力学稳定性的影响机理.结果表明：电机转速与多初值协同作用诱发系统出现多样性的共存运动,共存运动吸引域的拓扑结构复杂多样,部分共存运动的振动幅值可能较大亦可能很小,其全局动力学稳定性差异较大.电机转速与初值的协同作用对电动轮车辆系统非线性振动和全局动态特性的影响不予忽视.本文研究对电动轮车辆系统的动态性能改善和结构优化具有重要的理论意义和工程价值.

Abstract

In order to study the nonlinear vibration of the electric wheeled vehicle system under the pavement-magnetic excitation and to excavate the global dynamic information of the system under the synergistic effect of parameters and initial conditions, a new non-smooth nonlinear time-varying dynamic model of the two- degree-of-freedom 1/4 vertical vibration of an electric wheeled vehicle system including the nonlinear spring force and damping of the suspension system and tires are established. Complex external excitation models with harmonicity, randomness and periodicity are obtained by considering the harmonicity and randomness of road excitation and the piecewise periodicity of electromagnetic excitation. The influence of the correlation between motor speed and multiple initial values on the coexistence behavior of the system and its bifurcation is analyzed. The diversity of coexisting motions and the topology of their basins of attraction are investigated. The mechanism of the influence of rotational speed on the global dynamic stability of the system is revealed. The results show that the synergistic effect of the motor speed and the multiple initial values induces a variety of coexisting motions in the system. The topological structures of the basins of attraction of coexisting motions are complex and diverse, and the vibration amplitude of some coexisting motions may be large or small, and their global dynamic stability changes greatly. The impact of the synergistic effect of the motor speed and the initial value on the nonlinear vibration and global dynamics of the system cannot be ignored. This research has important theoretical significance and engineering value for the dynamic performance improvement and structural optimization of the electric wheel vehicle system.

关键词

电动轮车辆振动；路面-电磁激励；非线性振动；吸引域；全局动力学特性

Keywords

electric wheeled vehicle vibration ； pavement-magnetic excitation ； nonlinear vibration ； basin of attraction ； global dynamics

引言
电动轮汽车由于其结构灵活紧凑、动力源智能化、易操作控制等优点，已成为电动汽车的重要发展方向^[1，2].轮毂电机驱动通常安装在车轮内部，在汽车行驶过程中会产生较大的电磁力，其在垂直方向的分量严重影响车辆的垂向振动^[3]，汽车悬架系统、轮胎等非线性使车辆系统呈现较强的非线性动力学行为^[4，5]，研究电动轮车辆系统非线性动力学特性、揭示其非线性振动机理，对其结构优化设计、动态性能改善、减振降噪及可靠性应用具有重要的理论意义，是电动轮汽车主动振动控制亟待解决的关键问题之一.
很多学者对汽车系统的动力学特性开展了大量的研究，取得了很多有价值的研究成果.宋作军^[6]基于弹簧、减振器及轮胎的非线性方程，对汽车半主动悬架系统稳定性进行了分析，并研究了系统的Hopf分岔特性.卢剑伟等^[7]考虑运动副间隙的影响，建立含间隙汽车摆振系统非线性动力学模型，研究了系统的非线性动态特性.陈晓建等^[8]建立了考虑非线性弹簧力和非线性阻尼力的两自由度四分之一车辆动力学模型，分析了激励比和非线性刚度系数对悬架系统的动态特性的影响.对于电动轮汽车而言，金智林等^[9]研究了轮毂电机驱动电动汽车的侧倾稳定性，并分析了不同路面激励下非簧载质量的影响.近年来，杨蔚华等^[10]通过推导电磁转矩和电机切向力的解析表达式，建立了路面和电磁双重激励下的1/4车辆动力学模型并分析了其平顺性，为路面-电磁激励下车辆系统动力学研究奠定了基础.李韶华及其团队^[11-14]在路面-电磁激励下电动轮系统的动力学建模、动态特性、平顺性评价指标等方面进行了开创性的研究，分析了电磁激励、路面二次激励、车速和车辆非线性对车辆平顺性和道路友好性的影响，研究了胎路多点接触、非线性地基、路面不平顺幅值等对车辆响应的影响规律，以及基于分形理论的轮胎与路面的三维动态接触行为.随后，分析了刚柔耦合特种车辆通过凸台障碍路面时的动力学特性^[15]，并从车辆纵、横、垂向动力学三个方面，介绍了目前电动车辆动力学与控制领域的研究成果^[16].张云等^[17]建立了采用悬置轮毂式电机驱动的电动汽车四分之一主动悬架模型，并研究了其滑模控制行为.韩彦伟等^[18]利用拉格朗日方程，研究了车辆行驶时的非线性动力学响应.尽管考虑各种影响因素的电动轮汽车系统非线性动力学模型已被建立，其动态响应特性被广泛研究，但单参数影响下电动轮车辆系统非线性动力学响应的分岔与混沌特性却鲜有研究.非线性系统的动力学响应不仅与参数相关，对初值亦具有较强的敏感依赖性，然而对于参数与初始条件协同作用下电动轮车辆系统的全局动力学特性的研究未见文献报道，系统非线性振动机理尚未清楚.
基于以上分析，本文考虑路面-电磁联合激励的影响，考虑悬架系统和轮胎的非线性刚度和非线性阻尼，建立一个新的电动轮车辆系统两自由度1/4垂向振动非光滑非线性时变动力学模型，基于变步长四阶Runge-Kutta法求解模型，借助相图、Poincaré映射图、多初值分岔图、最大Lyapunov指数（Top Lyapunov Exponent，TLE）、胞映射等方法研究该系统在电机转速变化下的非线性全局动力学特性，为电动轮车辆系统动力学行为预测、评价及控制、减振降噪及可靠性应用奠定理论基础.
1 路面-电磁激励下电动轮车辆非线性动力学建模
考虑车辆垂向振动，假设车身结构和质量分配对称，路面-电磁激励下1/4车辆的两自由度振动力学模型如图1所示.M₁和M₂为簧下和簧上质量，M₃为轮毂电机质量，M₁+M₃为总非簧载质量，F_k₂（τ）和F_c₂（τ）为悬架系统的非线性弹簧力和阻尼力，τ表示时间，F_k₁（τ）和F_c₁（τ）为车辆轮胎的非线性弹簧力和阻尼力，F_d（τ）为轮毂电机垂向激振力，X₁和X₂为簧下和簧上质点振动位移，X₃为谐波-随机外激励.
轮胎的非线性弹簧力和非线性阻尼力表达式为：

\begin{matrix} F_{k 1} (τ) = K_{11} (X_{1} - X_{3}) + K_{12} {(X_{1} - X_{3})}^{2} + \\ K_{13} {(X_{1} - X_{3})}^{3} \end{matrix}

(1)

图1 谐波-随机-电磁激励下电动轮车辆力学模型
Fig.1 Mechanical model of electric wheel vehicle under harmonic-random-magnetic excitation

\begin{matrix} F_{c 1} (τ) = C_{11} ({\dot{X}}_{1} - {\dot{X}}_{3}) + C_{12} (X_{1} - X_{3}) \times \\ ({\dot{X}}_{1} - {\dot{X}}_{3}) + C_{13} (_{1}^{X} - X_{3}) 2 ({\dot{X}}_{1} - {\dot{X}}_{3}) \end{matrix}

(2)

式中，K₁_i和C₁_i（i=1，2，3）分别表示轮胎的线性、平方和三次方非线性刚度和阻尼系数.
悬架系统的非线性弹簧力F_k2（τ）表示为^[4]：

F_{k 2} (τ) = K_{2} (X_{2} - X_{1}) + ε K_{2} {(X_{2} - X_{1})}^{3}

(3)

其中，K₂为悬架系统刚度，ε为小参数，表示非线性程度.悬架系统的非线性阻尼力F_c₂（τ）由式（4）得到^[5，19].

\begin{matrix} F_{c 2} (τ) = C_{2} [1 + Λ s i g n ({\dot{X}}_{2} - {\dot{X}}_{1})] \times \\ {({\dot{X}}_{2} - {\dot{X}}_{1})}^{\frac{1}{3}} \end{matrix}

(4)

式中，C₂为悬架系统阻尼，Λ为非对称性系数，sign（·）为符号函数，表征阻尼力的非光滑性，表达式为^[5]：

s i g n ({\dot{X}}_{2} - {\dot{X}}_{1}) = \{\begin{matrix} 1, {\dot{X}}_{2} - {\dot{X}}_{1} > 0 \\ - 1, {\dot{X}}_{2} - {\dot{X}}_{1} < 0 \end{matrix}

(5)

考虑轮毂盘式永磁直流电机，其垂向激振力F_d（τ）由式（6）计算得到^[10].

F_{d} (τ) = \{\begin{matrix} \frac{T_{e m}}{R} c o s (\frac{n π}{30} τ), z T ⩽ τ ⩽ (z + \frac{7}{15}) T \\ 0, (z + \frac{7}{15}) T < τ < (z + 1) T \end{matrix}

(6)

式中，R为电机定子的平均半径，n为电机转速，z为正整数，T=60/（nm）为激振力的作用周期，m为电机极数，T_em为电磁转矩，可由式（7）得到^[10].

T_{e m} = \frac{π}{8 \sqrt{2}} α_{i} B_{δ} w N I_{Φ} (D_{o}^{2} - D_{i}^{2})

(7)

其中，α_i=2/π为计算极弧系数，B_δ=0.7T为气隙磁密幅值，w为绕组相数，N定子绕组每相线圈匝数，I_Φ为电流有效值，D_o和D_i为永磁体的外径和内径.
考虑路面激励具有谐波性和随机性（高斯白噪声），则X₃表示为：

X_{3} = η c o s (ω_{r} t) + Θ ζ (i)

(8)

式中，η为谐波激励幅值，ω_r为谐波激励频率，Θ为调节参数，ζ（i）为随机变量，用Monte-Carlo数值模拟法表示为式（9）.

ζ (i) = \sqrt{2 H / Δ i} \sqrt{- 2 I n η_{1 i}} s i n (2 π η_{2 i})

(9)

其中，2H为白噪声的激励强度，Δi为计算步长，η₁_i和η₂_i为在[0，1]之间均匀变化的独立随机数.
根据牛顿运动定律，图1所示的路面-电磁联合激励下车辆系统两自由度1/4垂向振动非线性动力学模型如式（10）所示.

\{\begin{matrix} (M_{1} + M_{3}) {\ddot{X}}_{1} + F_{k 1} (τ) + F_{c 1} (τ) - \\ F_{k 2} (τ) - F_{c 2} (τ) = F_{d} (τ) \\ M_{2} {\ddot{X}}_{2} + F_{k 2} (τ) + F_{c 2} (τ) = 0 \end{matrix}

(10)

方程（1）-（9）经合并、化简后带入上式，得

\{\begin{matrix} (M_{1} + M_{3}) {\ddot{X}}_{1} + K_{11} (X_{1} - X_{3}) + K_{12} {(X_{1} - X_{3})}^{2} + \\ K_{13} {(X_{1} - X_{3})}^{3} + C_{11} ({\dot{X}}_{1} - {\dot{X}}_{3}) + C_{12} (X_{1} - \\ X_{3}) ({\dot{X}}_{1} - {\dot{X}}_{3}) + C_{13} {(X_{1} - X_{3})}^{2} ({\dot{X}}_{1} - {\dot{X}}_{3}) - \\ K_{2} (X_{2} - X_{1}) - ε K_{2} {(X_{2} - X_{1})}^{3} - \\ C_{2} [1 + Λ s i g n ({\dot{X}}_{2} - {\dot{X}}_{1})] {({\dot{X}}_{2} - {\dot{X}}_{1})}^{\frac{1}{3}} = F_{d} (τ) \\ M_{2} {\ddot{X}}_{2} + K_{2} (X_{2} - X_{1}) + ε K_{2} {(X_{2} - X_{1})}^{3} + \\ C_{2} [1 + Λ s i g n ({\dot{X}}_{2} - {\dot{X}}_{1})] {({\dot{X}}_{2} - {\dot{X}}_{1})}^{\frac{1}{3}} = 0 \end{matrix}

(11)

令初始位移D为长度尺度，时间尺度为T₁= $\sqrt{(M_{1} + M_{3}) / K_{11}}$ ，定义以下无量纲参数：
$\begin{matrix} k_{11} = K_{11} / (M_{1} + M_{3}), k_{12} = K_{12} D / (M_{1} + M_{3}), κ = Λ D \\ k_{13} = K_{13} D^{2} / (M_{1} + M_{3}), ξ_{11} = C_{11} / (M_{1} + M_{3}), t = τ / T_{1} \\ ξ_{12} = C_{12} D / (M_{1} + M_{3}), ρ = η / D, k_{21} = K_{2} / (M_{1} + M_{3}) \\ ξ_{13} = C_{13} D^{2} / (M_{1} + M_{3}), k_{22} = ε K_{2} D^{2} / (M_{1} + M_{3}) \\ ξ_{2} = C_{2} D^{- 2 / 3} / (M_{1} + M_{3}), f_{d} (t) = F_{d} (τ) / D (M_{1} + M_{3}) \\ x_{1} = X_{1} / D, x_{2} = X_{2} / D, x_{3} = X_{3} / D, ω = n π T_{1} / 30 \\ m_{2} = M_{2} / (M_{1} + M_{3}), χ = π / 8 \sqrt{2} R D (M_{1} + M_{3}), γ = Θ / D \end{matrix}$
则方程（11）的无量纲形式为：

\{\begin{matrix} {\ddot{x}}_{1} + k_{11} (x_{1} - x_{3}) + k_{12} {(x_{1} - x_{3})}^{2} + \\ k_{13} {(x_{1} - x_{3})}^{3} + ξ_{11} ({\dot{x}}_{1} - {\dot{x}}_{3}) + ξ_{12} (x_{1} - \\ x_{3}) ({\dot{x}}_{1} - {\dot{x}}_{3}) + ξ_{13} {(x_{1} - x_{3})}^{2} ({\dot{x}}_{1} - {\dot{x}}_{3}) - \\ k_{21} (x_{2} - x_{1}) - ε k_{22} (x_{2} - x_{1}) 3 - ξ_{2} [1 + \\ κ s i g n ({\dot{x}}_{2} - {\dot{x}}_{1})] {({\dot{x}}_{2} - {\dot{x}}_{1})}^{\frac{1}{3}} = f_{d} (t) \\ {\ddot{x}}_{2} + k_{21} (x_{2} - x_{1}) + ε k_{22} {(x_{2} - x_{1})}^{3} + \\ ξ_{2} [1 + κ s i g n ({\dot{x}}_{2} - {\dot{x}}_{1})] {({\dot{x}}_{2} - {\dot{x}}_{1})}^{\frac{1}{3}} = 0 \end{matrix}

(12)

式中，

s i g n ({\dot{x}}_{2} - {\dot{x}}_{1}) = \{\begin{matrix} 1, {\dot{x}}_{2} - {\dot{x}}_{1} > 0 \\ - 1, {\dot{x}}_{2} - {\dot{x}}_{1} < 0 \end{matrix}

(13)

f_{d} (t) = \{\begin{matrix} χ_{α_{i}} B_{δ} ω N I_{Φ} (D_{o}^{2} - D_{i}^{2}) c o s (ω t), \\ z T ⩽ t ⩽ (z + \frac{7}{15}) T \\ 0, (z + \frac{7}{15}) T < t < (z + 1) T \end{matrix}

(14)

x_{3} (t) = ρ c o s (ω t) + γ ζ (i)

(15)

方程（12）是一个非光滑非线性系统，其中，[x₃，f_d（t）]为系统输入激励， $[x_{1} ， {\dot{x}}_{1} ， x_{2} ， {\dot{x}}_{2}]$ 为系统动态响应.谐波-随机-电磁激励下电动轮车辆系统动力学模型是一个非光滑非线性系统，其实验验证非常困难.本文模型是在文献^[10]的基础上考虑系统外激励的谐波性和随机性，以及悬架系统的非线性弹性力和非线性阻尼力.车辆系统外激励的谐波性和随机性是真实存在的，文献^{[4，11，12]}分析了悬架系统的非线性弹簧力和非线性阻尼力，故本文建立的谐波-随机-电磁激励下车辆系统两自由度1/4垂向振动非线性动力学模型是正确的和有效的.利用变步长四阶Runge-Kutta法数值求解方程（12）.
2 路面激励与电磁激励
如图2所示，无量纲谐波-随机联合激励x₃（图2c）由谐波分量（图2b）和随机分量（图2a）构成.系统量纲参数见表1，令电磁驱动转速为380r/min，图3为无量纲垂向电机电磁激励力f_d（t）的时域图，f_d（t）在两个时间程度上呈现周期性变化规律.在小的时间尺度T1上，电磁力在f_d（t）=0和f_d（t）≠0之间周期性切换；在大的时间尺度T2上，电磁力在f_d（t）＞0和f_d（t）＜0之间周期性切换.两时间尺度上电磁力的周期性变化使系统振动具有较强的时变特性.
图2 路面激励x₃
Fig.2 Harmonic-random excitation x₃
图3 电磁激励f_d（t）
Fig.3 Electromagnetic excitation f_d (t)
3 参数影响下系统多初值分岔特性
方程（12）是一个含时变参数的非光滑非线性系统，其动力学特性不仅受系统参数的影响较大，而且对初始条件具有较强的敏感依赖性，为此研究多初值域内系统的全局动力学特性是非常有必要的.考虑表1系统量纲样本参数，经无量纲化后得系统无量纲参数为：k₁₁=0.3、k₁₂=0.2、k₁₃=0.1、ξ₁₁=0.06、ξ₁₂=0.03、ξ₁₃=0.015、k₂₁=0.12、k₂₂=0.1、ξ₂=0.08、ε=0.1、κ=0.482、ρ=0.1、γ=0.06、m₂=5，定义轮毂驱动电机无量纲转速ω为控制参数，考虑簧下质量M₁+M₃的初始条件对系统全局动态特性的影响，令多初值域为 $Φ = \{(x_{1} ， {\dot{x}}_{1} ， x_{2} ， {\dot{x}}_{2}) ∣ x_{1} \in [- 12，12] ， {\dot{x}}_{1} \in [- 12，12] ， x_{2} = {\dot{x}}_{2} = 0\}$ ，图4为电机无量纲转速ω减小时系统簧下质量M₁+M₃的振动位移x₁的多初值分岔图[图4（a）]和相应的TLE图[图4（b）]，图4（c）为图4（a）中Z区域的局部放大图，相同参数下簧上质量的振动位移和速度的变化规律与图4相似，仅是振动幅值有所差异，故本文只讨论簧下质量M₁+M₃振动行为的多初值分岔及演化规律.
表1 系统样本参数
Table1 System sample parameters
图4（a）中，ω较大时（A点右侧），系统仅表现为稳定的周期1运动P1，对应TLE值小于零，见图4（b），P1相轨迹如图5（a），振动幅值较小，系统较稳定，图中符号“×”表示Poincaré映射图.随着ω减小到A点，P1在部分初值下转迁为周期6运动P6，相应TLE值在零点附近发生跳跃，在另一部分初值下P1依然存在，故在A点左侧（A和B点之间）系统表现为P1和P6共存（双稳态），其相轨迹如图5（b）所示，尽管P1与P6均为稳定周期运动，但P6的振动幅值远大于P1，P1行为下系统动力学品质远高于P6.因此，在相同参数域内可通过调节初始条件，使系统在稳定的动力学品质较好的P1上运行，以达到减振降噪、提高可靠性的目的.
随着ω进一步减小到B点，P1在部分初值域内再次经历极短暂的混沌行为后转迁为周期7运动P7，对应TLE值在B点附近出现大于零的情况，另一部分初值域内P1依然存在，故在B和C点之间，系统表现为P1、P6和P7共存（三稳态），对应相轨迹如图5（c）所示，图中符号“+”表示P7的Poincaré映射图.相比之下，P6和P7的振动较大，而P1的振动较小，因此P1是系统期望的动力学行为.在C点，P6在初值域内完全转迁为混沌行为CM，对应的TLE值大于零，随后在C和D点之间，系统表现为P1、P7和混沌CM共存，相轨迹如图5（d）所示，CM的振幅较大，P7的较小，而P1的最小，在图5（d）近似为一个点.
图4 系统多初值分岔图与TLE图
Fig.4 Bifurcation diagram and TLE diagram of the system with multiple initial values
继续减小ω，在D点混沌运动CM在其初值域内完全退化为周期3运动P3，在D和E点之间，系统表现为P1、P3和P7共存（三稳态），相轨迹如图5（e），P3的振动幅值最大，容易导致系统振动结构破坏，在工程中应尽可能避免.在E点，P7完全转迁为P1运动（P7消失），在E和F点之间，系统表现为P1和P3共存，如图5（f），P3的振动幅值依然较大.在F点，P1在部分初值域内转迁为一个新的周期1运动Q1，在另一部分初值域内P1依然存在，故在F和G点之间系统表现为P1、Q1和P3共存，相轨迹如图5（g），P1和Q1相轨迹的拓扑结构不同，其中Q1的振动最大，P3次之，P1最小.另外，随着ω的减小，P3的振动幅值不断地减小.
图5 多初值条件下系统相图和Poincaré映射图，符号“+”和“×”表示Poincaré映射点
Fig.5 Phase diagrams and Poincaré mapping diagrams under multiple initial values, the symbols "+" and "×" indicate the Poincaré mapping point
随着ω减小到G点，P1在初值域内经周期跳跃完全转迁为Q1（P1消失），系统在G和H点之间表现为P3和Q1共存，相轨迹如图5（h）所示，P3和Q1的振动随着ω的减小而减小.在H点，P3退化为周期1运动P1，P1的振动明显增大，随后系统在H和I点之间表现为P1和Q1共存，但P1的振动幅值明显大于Q1，如图5（i）所示，此时Q1的动力学品质优于P1.继续减小ω，如局部放大图4（c），在I点Q1经周期跳跃转迁为较短暂的高周期运动，随后在J点进入混沌运动C1，对应TLE值大于零，系统表为P1与混沌C1共存，如图5（j）所示，尽管混沌C1不稳定，但其振动幅值较小，因此可根据实际需求，通过控制初始条件，使其在期望的轨道上运行.在K点混沌C1退化为周期3运动P3，系统在K和L点之间表现为P1与Q3共存，相轨迹如图5（k）所示.
在L点，Q3转迁为准周期运动PZ，其对应TLE值近似等于零，系统在L和M点之间表现为P1与准周期PZ共存，如图5（l）.在M点，准周期PZ退化为稳定的周期1运动Q1，在M和N点之间系统表现为P1和Q1共存，如图5（m），Q1的振动相对较小.在N点Q1转迁为混沌CM，随后在N和O点之间系统表现为P1和混沌CM共存，如图5（n），相比之下，混沌行为的振幅较小，而P1的振幅较大.在O点，混沌行为在初值域内完全退化为P1，故系统在较小时（O点左侧），表现为一个稳定的周期1运动P1.
综上，轮毂电机无量纲转速ω与多初值域Φ的协同作用对系统多稳态行为的影响规律被完全揭示.ω较大时系统表现为一个稳定的周期1运动P1，其振动幅值较小；随着ω减小，在初值域Φ内，系统逐渐出现了多样性的共存运动，这些共存运动中仅有部分运动是稳定的、安全的.共存运动诱发系统动力学行为在同一参数条件下，随着初值扰动发生转迁或者分岔，加剧系统振动甚至动态失稳.在共存运动之间，一些运动振动较小，另一些运动振动较大或者不稳定，因此在不改变参数下可通过调节初始条件控制系统动力学行为，以期获得稳定、振动较小、动力学品质较优的动力学行为.
参数ω与多初值域Φ的协同交互下，两种特殊的现象被揭示：1）在G和A点之间，系统出现周期1运动P1与多种类型的周期运动或混沌运动共存的情况[图4（a）]，且P1运动始终是最稳定、振动最小、动力学品质最优的运动，可通过改变初始状态，使系统表现为期望的P1运动；2）ω较小时（I点左侧），系统出现周期1运动P1与多种类型的周期运动或混沌运动共存的情况，但P1的振动幅值较大，动力学品质较差，而共存的周期运动和混沌运动振动较小，动力学品质反而较好[图4（c）].另外，由于谐波-随机分量的影响，系统运动轨迹在较小领域内具有发散性.
4 初值域内系统全局动力学行为及其演化规律
由第3节的分析可知，随着ω变化系统在多初值域Φ内存在多样性的共存运动，这些共存运动的振动幅值或稳定性相差较大，为全面评价共存运动的多样性与全局特性，下面详细分析共存运动在初值域Φ内吸引域的拓扑结构及其演化规律.
表2 ω不同参数范围内共存运动的数量及类型
Table2 Number and types of coexisting motions in different parameter ranges of ω
图6为ω变化时系统在Φ内共存运动吸引域的拓扑结构及其演化过程，图5为ω不同参数范围对应的多样性共存运动数量及其类型.结合图4，当ω较大时系统在多初值条件下仅表现为一个稳定的周期1运动P1，随着ω减小，系统出现稳定的P1与P6共存，其吸引域如图6（a）所示，图中橙色区域为P1的初值域（吸引域），湛蓝色区域为P6的吸引域，相比之下，P1的吸引域的面积大于P6吸引域的面积，故P1的全局稳定性要强于P6.随着ω减小，P1在其部分初值域内转迁为P7（周期7运动），随后出现P1、P6和P7三稳态共存，其吸引域如图6（b）所示，图中灰绿色表示P7的吸引域，由于P7吸引域的面积最小，故P7的全局稳定性最弱，其初始条件的轻微扰动可能使系统运动状态由P7转迁为P1或P6.
随着ω进一步减小，P6在其初值域内完全转迁为混沌运动CM，随后系统出现P1、P7和CM共存的情况，如图6（c），尽管P7的吸引域面积有所增大，但其全局动力学稳定性依然是最弱的.随着ω减小，混沌运动CM完全退化为周期3运动P3，故系统出现P1、P3和P7共存情形，如图6（d），随后P7完全转迁为P1，系统表现为P1和P3共存，如图6（e），由于P3吸引域面积较小，故P1的全局稳定性大于P3，且随着ω减小，P3吸引域的面积不断缩小.
图6 ω变化时多初值域Φ内系统共存运动的拓扑及其演化机制
Fig.6 Topology and evolution of coexistence motion of the system in multiple initial value domains Φ when ω changes
随着ω继续减小，P1在其部分初值域内转迁为另一种新的周期1运动Q1[P1和Q1相轨迹的拓扑结构不同，见图5（i）]，在Φ内系统出现两个周期1运动和一个周期3运动共存，即P1、Q1和P3共存，其吸引域如图6（f）所示，图中天蓝色区域为Q1的吸引域，相比而言，P1吸引域的面积最大，Q1的次之，P3的最小，即P1的全局动力学稳定性最强，而P3的最弱.随后，P1完全转迁为Q1，系统表现为Q1和P3共存，且Q1的全局动力学稳定性较强，如图6（g）所示.随着ω减小，P3退化为P1，系统表现为两个不同的周期1运动共存（P1和Q1共存），如图6（h）所示，粉色区域为P1的吸引域，且Q1的全局稳定在大于P1.
继续减小ω，P1运动持续存在，Q1运动先后转迁为混沌运动C1、周期3运动Q3、准周期运动PZ以及混沌运动CM，故而系统在ω的不同范围内出现多样性的共存运动，如，P1和C1[图6（i）]、P1和Q3[图6（j）]、P1和PZ[图6（k）]以及P1和CM[图6（l）]，且P1的吸引域面积（粉色区域）不断增大，故P1的全局稳定性增强，但P1的振动幅值较大.
对比图4、图5和图6，在ω变化一定范围内，系统出现多样性的共存行为，当ω较大时，共存运动中P1持续存在且其吸引域面积较大，其全局动力学稳定性较强，由于P1的振动幅值较小，故系统表现为P1运动时，其全局动力学稳定性较好且振动小，是期望的动力学行为.当ω较小时，P1运动吸引域面积不断增大，其全局动力学稳定性较强，故系统在大多初值下表现为P1运动，但其振动幅值较大，加剧系统振动，甚至引起系统结构破坏，在工程实际中应尽量避免此类运动.
可见，随着ω减小，多样性的共存运动吸引域的拓扑结构发生复杂的变化，吸引域面积或拓扑结构的演变引起系统共存运动类型的变化，某一共存运动吸引域面积的突然增大可能减小共存运动的数量，而某一共存运动吸引域面积的突然减少可能增加共存运动的数量.考虑参数与多初值的协同作用，系统出现多样性的共存行为，其中有部分行为振动较小或全局动力学较稳定，从而为实现系统全局动力学行为的预测与评价以及期望运动的控制提供一定的理论和数据支撑.
5 结论
建立了路面激扰与电磁激扰下电动轮车辆系统两自由度1/4垂向振动非线性动力学模型，采用定性与定量相结合的分析方法，如多初值分岔图、TLE、相图、Poincaré映射图等，研究了多初值条件下系统动力学共存行为或多稳态随无量纲轮毂电机转速变化的演变过程，揭示了参数变化和初值扰动协同作用下动力学行为的演化规律，基于胞映射方法分析了多初值条件下共存行为的吸引域或初值域的拓扑特性，探讨了系统全局动力学稳定性.研究结果为电动轮车辆的1/4垂向动力学分析提供理论参考价值.具体结论如下：
（1）建立的电动轮车辆系统垂向振动非线性动力学模型考虑了谐波、随机和电磁三重激励，电磁激励在时域内呈较强的非光滑非连续性，考虑了悬架系统和轮胎的非线性弹簧力和阻尼力，且非线性阻尼力具有分段特性.因此，所建模型是一个含时变参数和随机参数的非光滑非线性动力学系统.
（2）电机转速与初值的协同作用对系统1/4垂向振动运动类型完整性及其分岔的影响不予忽视.转速较大时，系统运动对初值扰动的影响不敏感，仅表现为一个稳定的周期1运动且振幅较小；随着转速减小，系统运动受初值扰动的影响较大，出现了多样性的共存运动，且部分共存运动的振幅很大；转速较小时，系统运动不受初值扰动的影响，表现为稳定的周期1运动且振幅较大.
（3）状态平面内系统共存运动的吸引域或初值域的拓扑结构复杂多样，多样性共存运动的全局动力学稳定性差异较大.转速较大时，共存行为中周期1运动的全局稳定性较大，且振动幅值较小，是车辆系统运行中期望的动力学行为；随着转速减小，另一个周期1运动的全局动力学稳定性较好，但其振动幅值较大，为此应根据工程实际需求，通过合理地匹配转速与初值，使系统运行在期望的动态响应上.本文的研究为车辆系统垂向振动设计、动力学行为预测与控制、动态性能改善提供理论依据.
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基本信息

中图分类号: O322
文献标识码: A
DOI: 10.6052/1672-6553-2022-047
文章编号: 1672-6553-2022-21(6)-088-011

基金信息

甘肃省教育厅2022年度甘肃省高等学校创新基金项目（2022B-300）；
甘肃省青年科技计划资助项目（21JR7RA266）；
Gansu Provincial Department of Education 2022 Gansu Provincial Higher Education Innovation Fund Project (2022B-300)；
Gansu Provincial Youth Science and Technology Project (21JR7RA266)；

引用信息

稿件历史

收稿日期: 2022-07-20

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路面激扰与电磁激扰下电动轮车辆系统非线性全局动态特性研究^*

Nonlinear Global Dynamic Characteristics of Electric Wheeled Vehicle Systems with Pavement and Magnetic Excitations^*

摘要

Abstract

关键词

Keywords

1 路面-电磁激励下电动轮车辆非线性动力学建模

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

2 路面激励与电磁激励

3 参数影响下系统多初值分岔特性

4 初值域内系统全局动力学行为及其演化规律

5 结论

参考文献

基本信息

基金信息

引用信息

稿件历史

参考文献

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路面激扰与电磁激扰下电动轮车辆系统非线性全局动态特性研究*

Nonlinear Global Dynamic Characteristics of Electric Wheeled Vehicle Systems with Pavement and Magnetic Excitations*

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关键词

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1 路面-电磁激励下电动轮车辆非线性动力学建模

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

2 路面激励与电磁激励

3 参数影响下系统多初值分岔特性

4 初值域内系统全局动力学行为及其演化规律

5 结论

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