引言

在实际工程系统中，时变和切换特性往往同时存在，这类系统可用线性时变（LTV）切换系统模型描述.LTV切换系统的子系统参数是时变的，针对该类系统的研究近年来受到普遍关注，主要动机在于具有时变参数的切换模型能够用来建立一类受控对象特性随时间和环境变化的实际物理系统，其具备更加广泛的描述能力.LTV切换系统模型已经在很多领域得到了应用，例如滤波网络^[1]、无人飞行器^[2]和无线传感器网络^[3]等.相较于线性时不变（LTI）切换系统，子系统参数的变化使得LTV切换系统的分析和综合问题更加困难，时变参数和切换控制信号在系统动态特性演化过程中的交织给稳定性分析和控制器设计带来了新的挑战.文献^[4]引入模型转换技术，在时延和扰动下利用平均驻留时间方法给出了LTV切换系统指数稳定性判据，文献^[5]进一步利用比较原理将该判据推广到时变非线性的情形.此外，文献^[6]基于平均驻留时间切换方法分析了离散时变切换非线性系统的稳定性问题，文献^[7]基于这种方法解决了离散时变随机切换系统的有限时间H_∞滤波问题.文献^[8]利用不定Lyapunov函数方法给出了LTV脉冲切换系统有限时间稳定的充要条件，该方法也被用来解决时变切换系统的镇定问题^[9]，并进一步用来分析LTV切换正系统的稳定性^[10].文献^[11]推广了经典Krasovskii-LaSalle定理，获得了时变非线性切换系统一致渐近稳定的充要条件.文献^[12]研究了时变切换系统的输入-状态稳定性，文献^[13]进一步将其推广到时延情形.纵观目前已有的成果，对于设计相应的控制器确保LTV切换系统有限时间稳定、渐近稳定、指数稳定或输入-状态稳定方面，现有的文献很多都已经进行了充分研究，然而，这些结果均未考虑控制器和子系统切换时间上的异步特性，结论具有一定的保守性.虽然LTV切换系统镇定问题受到广泛关注，基于异步切换的有限时间控制研究鲜有相关报道，目前该类控制方法的研究主要针对时不变的情形^[14-18].

此外，在实际中许多对象不能依靠传统的整数阶微分方程精确表示，很多实际系统用分数阶微分方程可以更好地得到表征，所以分数阶系统在许多领域（如地震分析、黏性阻尼、信号处理、分形与混沌等）都有广泛的应用^[19]，随着对分数阶微积分理论研究的不断深入，其在复杂系统^[20]、经济学^[21]、力学^[22]等方面也有很多应用.特别是在控制领域中^[23]，分数阶微积分可以更加准确地描述实际系统，能产生比整数阶微积分更好的结果.目前，关于分数阶切换系统已经取得了一些研究结果.文献^[24]分析了分数阶切换系统的二次稳定性.文献^[25]给出了分数阶切换脉冲系统的有限时间稳定性条件.文献^[26]研究了分数阶切换正系统的稳定及镇定.文献^[27]针对一类具有任意切换规则的分数阶线时滞切换系统，利用λ范数研究了PDα型分数阶迭代学习控制.文献^[28]研究了分数阶切换系统的输入输出有限时间稳定问题.尽管在分数阶切换系统的稳定性分析与综合方面已经取得了一些研究结果，但均未考虑子系统含有时变参数的情形，且都是基于控制器与子系统切换时间同步的假设，关于分数阶时变（FOLTV）切换系统有限时间异步控制问题方面未见报道.本文针对一类分数阶时变切换系统，利用模型依赖平均驻留时间思想提出了分数阶时变切换系统有限时间稳定和有限时间有界的充分条件，基于该条件设计了系统的异步切换控制器，特别地，异步切换使得子系统分数阶动力学模型对应的控制器与系统之间产生了切换时序的不匹配，通过求解具有参数耦合的矩阵不等式组，并设计相应的求解方法，得到了子系统对应的控制器参数.最后通过数值算例进行仿真实验，验证了理论结果.

1 问题描述和预备知识

考虑下面的分数阶时变切换系统:

其中$x（t）\in {\mathbb{R}}^n$是系统状态，x（0）=x₀是系统初始状态，$\sigma （t）:[0，+\mathrm{\infty }）\to \underset{\_}{N}=\{\mathrm{1，2}，\cdots ，N\}$是切换信号，N代表子系统个数. $A_i（t）=\left(a_{pq}^{（i）}（t）\right)\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$是时变系统矩阵，$i\in \underset{\_}{N}，p，q\in \{\mathrm{1，2}，\cdots ，n\}，t\in \left[t_k，t_{k+1}\right)，t_0=0$，t_k为第k次切换时刻.

定义^[29] 当0＜α＜1时，Caputo分数阶导数定义如下:

其中${}_0^C{\mathcal{D}}_t^{\alpha }f（t）$表示函数f（t）在[0，t]上的Caputo分数阶导数，Γ（·）表示Gamma函数，且Γ（z）= ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t}{t}^{z-1}\mathrm{d}t$.

定义^[29]  当α＞0时，Caputo分数阶积分定义如下:

其中${}_0^C{\mathcal{F}}_t^{\alpha }f（t）$表示函数f（t）在[0，t]上的Caputo分数阶积分.特别地，当0＜α＜1时，${}_0^C{\mathcal{F}}_t^{\alpha }\left[{}_0^C{\mathcal{D}}_t^{\alpha }f（t）\right]$=f（t）-f（0）.

定义3  对于系统（1），给定正标量c₁，c₂，T，c₁＜c₂，切换信号σ（t）以及正定矩阵函数R（t），t∈[0，T]，如果:

$x_0^{\mathrm{T}}R\left(0\right)x_0⩽c_1^2\Rightarrow x\left(t{)}^{\mathrm{T}}R\right(t\left)x\right(t)<c_2^2,\forall t\in [0,T]$

则系统（1）关于（c₁，c₂，T，R（t），σ（t））是有限时间稳定的.

若系统（1）中含有外部干扰信号，则状态方程可描述为:

其中$G_i（t）=\left(g_{pq}^{（i）}（t）\right)\in {\mathbb{R}}^{n\times h}$是时变矩阵，w（t）∈${\mathbb{R}}^h$是平方可积的外部干扰信号.

定义 4  对于系统（4），给定正标量c₁，c₂，T，c₁＜c₂，切换信号σ（t）以及正定矩阵函数R（t），t∈[0，T]，如果:

$x_0^{\mathrm{T}}R\left(0\right)x_0⩽c_1^2\Rightarrow x\left(t{)}^{\mathrm{T}}R\right(t\left)x\right(t)<c_2^2,\forall t\in [0,T]$

则对$\forall$w（t）∈W，W代表平方可积的向量值函数的集合，系统（4）关于（c₁，c₂，W，T，R（t），σ（t））是有限时间有界的.

在（4）中考虑控制输入，则系统为:

其中$B_i（t）=\left(b_{pq}^{（i）}（t）\right)\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$是时变控制矩阵，u（t）∈${\mathbb{R}}^m$是控制输入. 利用状态反馈实现系统的有限时间控制，反馈控制器形式为:

由于检测信号的延迟，控制器切换时刻滞后于系统的切换时刻，称之为异步切换. 用σ′（t）表示控制器的实际切换信号. 设在时刻t_k子系统i_k被激活，$k\in \mathbb{Z}$，则系统具有以下的切换序列:

$S=\left\{\left(t_0,i_0\right),\left(t_1,i_1\right),\cdots ,\left(t_k,i_k\right),\cdots \right\},i_k\in N$

系统的切换信号为$\sigma （t）=i_k，t\in \left[t_k，t_{k+1}\right)$. 当控制器与系统之间存在异步切换时，异步切换序列可描述为:

$S^{\mathrm{\text{'}}}=\left\{\left(t_0,i_0\right),\left(t_1+{\mathrm{\Delta }}_1,i_1\right),\cdots ,\left(t_k+{\mathrm{\Delta }}_k,i_k\right),\cdots \right\}$

其中${\mathrm{\Delta }}_k<\underset{k\in \mathbb{Z}}{inf}\left(t_{k+1}-t_k\right)$为控制器与系统之间的不匹配切换时间段，对应的控制器切换信号为:

${\sigma }^{\mathrm{\text{'}}}\left(t\right)=i_k,t\in \left[t_k+{\mathrm{\Delta }}_k,t_{k+1}\right)$

异步切换反馈控制器形式为:

研究的问题描述为:寻求反馈增益$K_{{\sigma }^{\mathrm{\text{'}}}（t）}$，使得（5）是有限时间有界的. 控制流程图如图1所示:

定义5^[30]  对于给定的切换信号σ（t），t≥t₀≥0，N_σ（t₀，t）表示在时间段（t₀，t）内σ（t）的非连续数值个数，如果:

成立，其中τ＞0，N₀＞0，则称τ为切换信号σ（t）的平均驻留时间，N₀为振颤界. 不失一般性，可选择N₀=0.

引理 1^[31]  若P为正定矩阵，则对$\forall$α∈（0，1），$\forall$t≥0，以下不等式成立:

引理 2^[32]  设k为非负常数，f（t），g（t）是t∈[a，b]上的连续非负函数，且满足不等式:

$f\left(t\right)⩽k+{\int }_a^{t}f\left(s\right)g\left(s\right)\mathrm{d}s$

则有:

$f\left(t\right)⩽k\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[{\int }_a^{t}g\left(s\right)\mathrm{d}s\right]$

引理 3^[33]  对于$x_1，x_2，\cdots ，x_n\in {\mathbb{R}}^{+}$和0＜α＜1，以下不等式成立:

引理 4^[33]  对$\forall$a，b＞0和$\forall$x，y＞0，以下不等式成立:

$x^a{y}^b⩽\frac{a}{a+b}{x}^{a+b}+\frac{b}{a+b}{y}^{a+b}$

2 主要结果

2.1 有限时间稳定性

定理1给出了系统（1）有限时间稳定的充分条件.

定理1  考虑系统（1），给定正标量c₁，c₂（c₁＜c₂），T，μ＞1和ε.如果存在正定矩阵P_i＞0，使得对$\forall$t∈[0，T]以下矩阵不等式成立:

平均驻留时间满足:

则系统（1）关于（c₁，c₂，T，R（t），σ（t））有限时间稳定.

证明 对系统（1）选取以下的Lyapunov函数:

利用引理1可得:

由式（11）可得:

对于σ（t）=i_k，t∈[t_k，t_k+1），（17）两边取分数阶积分可得:

由引理2可得:

由式（13）可得:

联立式（19）和式（20）可得:

$\begin{array}{c}{V}_{i_k}\left(x\right(t\left)\right)⩽\mu V_{i_{k-1}}\left(x\left(t_{k-1}\right)\right)exp\left\{\frac{\epsilon }{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}\left[{\left(t-t_k\right)}^{\alpha }+{\left(t_k-t_{k-1}\right)}^{\alpha }\right]\right\}\\ ⩽\cdots \\ ⩽{\mu }^k{V}_{i_0}\left(x\right(0\left)\right)exp\left\{\frac{\epsilon }{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}\left[{\left(t-t_k\right)}^{\alpha }+{\left(t_k-t_{k-1}\right)}^{\alpha }+\cdots t_1^{\alpha }\right]\right\}\end{array}$

由引理3、引理4和定义4可得:

$\begin{array}{c}{V}_{ik}\left(x\right(t\left)\right)⩽V_{i0}\left(x\right(0\left)\right)exp\left\{\frac{(k+1{)}^{1-\alpha }\epsilon t^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}+k\mathrm{l}\mathrm{n}\mu \right\}\\ ⩽V_{i0}\left(x\right(0\left)\right)exp\left\{\frac{(1-\alpha )(k+1)+\alpha t}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}\epsilon +k\mathrm{l}\mathrm{n}\mu \right\}\\ ⩽V_{i0}\left(x\right(0\left)\right)exp\left\{\left[\frac{(1-\alpha )\epsilon }{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}+\mathrm{l}\mathrm{n}\mu \right]\frac{t}{{\tau }_a}+\frac{(1-\alpha )+\alpha t}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}\epsilon \right\}\forall t\in [0,T]\end{array}$

由式（14）可得:

由定义2和k的任意性，联合式（12）和式（21）可得:

$\begin{array}{c}{x}^{\mathrm{T}}\left(t\right)R\left(t\right)x\left(t\right)⩽x^{\mathrm{T}}\left(t\right)P_{ik}x\left(t\right)\\ ⩽\frac{c_2}{c_1}{x}^{\mathrm{T}}\left(0\right)P_{i0}x\left(0\right)\\ ⩽\frac{c_2^2}{c_1^2}{x}^{\mathrm{T}}\left(0\right)R\left(0\right)x\left(0\right)⩽c_2^2\end{array}$

因此系统（1）关于（c₁，c₂，T，R（t），σ（t））是有限时间稳定的. 定理证毕.

注1  当α=1时，定理1的分数阶时变切换系统有限时间稳定性条件可转化为常规的时变切换系统有限时间稳定性条件，该定理统一了分数阶和整数阶的结果，更具一般性.

该稳定性条件要求检验无穷多个矩阵不等式的可行性，在具体系统的检验中很难处理，当考虑时变系统为仿射参数依赖系统或多胞型系统时，可用一组有限多个线性矩阵不等式组的可行性刻画系统（1）的有限时间稳定性条件，并且可以看出，必然存在适当大的正数ε和μ使得不等式（11）和（13）成立，在具体求解中可通过凑试法寻求合适的正数解.

2.2 有限时间有界性

定理2给出了含外部扰动的系统（4）的有限时间有界的充分条件.

定理2  考虑如下的一类扰动信号:

$W:=\left\{w(\bullet )\mid w(\bullet )\in L^2[0,T],{\int }_0^{T}w\left(\tau {)}^{\mathrm{T}}w\right(\tau )\mathrm{d}\tau ⩽d\right\}$

其中d是一个正标量.给定正标量c₁，c₂（c₁＜c₂），T，μ＞1和λ. 如果存在正定矩阵P_i＞0，使得对$\forall$t∈[0，T]以下矩阵不等式成立:

平均驻留时间满足:

则系统（4）关于（c₁，c₂，W，T，R（t），σ（t））有限时间有界.

证明 对系统（4）选取以下的Lyapunov函数:

利用引理1可得:

对于σ（t）=i_k，t∈[t_k，t_k+1），（27）两边取分数阶积分可得:

由引理2可得:

由式（24）可得:

联立式（29）和式（30）可得:

$\forall$t∈[0，T]，由（25）可得:

由定义2和k的任意性，联立式（23）和式（32）可得:

$\begin{array}{c}{x}^{\mathrm{T}}\left(t\right)R\left(t\right)x\left(t\right)⩽x^{\mathrm{T}}\left(t\right)P_{i_k}x\left(t\right)⩽\\ \frac{c_2^2+d}{c_1{c}_2+d}\left(x^{\mathrm{T}}\left(0\right)P_{i_0}x\left(0\right)+d\right)-d⩽\\ \frac{c_2^2+d}{c_1{c}_2+d}\left(\frac{c_2}{c_1}{x}^{\mathrm{T}}\left(0\right)R\left(0\right)x\left(0\right)+d\right)-d⩽c_2^2\end{array}$

因此系统（4）关于（c₁，c₂，W，T，R（t），σ（t））有限时间有界.定理证毕.

注2  令d=0，式（22）和式（25）分别退化为式（11）和式（14），即表明有限时间有界的稳定性条件是有限时间稳定性条件的进一步推广.

2.3 异步切换控制器设计

将式（7）带入式（5）可得以下闭环系统:

定理3  给定正标量c₁，c₂（c₁＜c₂），T，μ＞1和λ. 如果存在正定矩阵Y_i，P_ij和矩阵W_i，使得对$\forall$t∈[0，T]以下矩阵不等式成立:

其中i，j∈$\underset{\_}{N}$，i≠j，μ≥1，平均驻留时间满足:

则控制器增益设计为$K_i=W_i{Y}_i^{-1}$能够确保系统（33）关于（c₁，c₂，W，T，R（t），σ（t））有限时间有界.

证明 对系统（33）选取以下的Lyapunov函数:

在匹配时间段（t_r+Δ_r，t_r+1]有:

基于定理2的证明思路，可得:

在非匹配时间段（t_r，t_r+Δ_r]有:

同理，可得:

联立式（41）和式（43）可得:

$\forall$t∈[0，T]，由式（38）可得:

$V\left(x\right(t\left)\right)⩽\frac{c_2^2+d}{c_1{c}_2+d}\left(V\right(x\left(0\right))+d)-d$

由定义2和k的任意性，联立式（37）和式（45）可得:

$\begin{array}{c}{x}^{\mathrm{T}}\left(t\right)R\left(t\right)x\left(t\right)⩽x^{\mathrm{T}}\left(t\right)Y_i^{-1}x\left(t\right)⩽\\ \frac{c_2^2+d}{c_1{c}_2+d}\left(x^{\mathrm{T}}\left(0\right)Y_0^{-1}x\left(0\right)+d\right)-d⩽\end{array}$

因此系统（33）关于（c₁，c₂，W，T，R（t），σ（t））有限时间有界.定理证毕.

注3  对异步切换而言，闭环系统的模态切换次数是不考虑异步切换情形下的2倍，对比式（38）和式（25）可知异步切换下平均驻留时间的下界值大于非异步切换情形，这也说明异步特性对闭环系统稳定性的影响可通过较长的平均驻留时间来抵消.

式（34）~式（37）可通过考虑仿射参数依赖系统或多胞型系统转换为有限个矩阵不等式组，但变换后的矩阵不等式组同时含有待求矩阵变量$P_{ij}{Y}_i，P_{ij}，Y_i，W_i，W_i{Y}_i^{-1}$，它们是相互耦合的，并且不能通过矩阵变换将其化为无相互约束的线性矩阵不等式组，不便于直接求解.注意到考虑仿射参数依赖系统或多胞型系统后，式（34）为一组关于Y_i，W_i的线性矩阵不等式，因此，首先可以获得矩阵Y_i，W_i的解，然后将所得到的解代入式（35）和式（36），从而可求得P_ij.

3 数值仿真

考虑包含2个子系统的分数阶时变切换系统，系统的动态方程如下:

${}_0^C{\mathcal{D}}_t^{\alpha }x\left(t\right)=A_{\sigma \left(t\right)}\left(t\right)x\left(t\right)+B_{\sigma \left(t\right)}\left(t\right)u\left(t\right)+G_{\sigma \left(t\right)}\left(t\right)w\left(t\right)$

其中切换信σ（t）={1，2}，系统时变参数为:

$\begin{array}{c}{A}_1\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -\frac{1}{2}|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}t|\end{array}\right],\\ A_2\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-t}& 0\\ 0& -1\end{array}\right],\\ B_1\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}\sqrt{2\mid \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}t}\mid \\ 0\end{array}\right],\\ B_2\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}0\\ \sqrt{2{\mathrm{e}}^{-t}}\end{array}\right]\\ G_1\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{e}}^{-t/2}\\ 0\end{array}\right],G_2\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}0\\ sint\end{array}\right]\end{array}$

选取μ=1.01，λ=2，T=0.5，c₁=0.01，c₂=1，α=0.5，$R（t）=\left[\begin{array}{cc}\frac{1+|\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}t|}{2}& 0\\ 0& \frac{1+{\mathrm{e}}^{-t}}{2}\end{array}\right]$

系统初始状态为: $x_0=\left[\begin{array}{c}0.007\\ -0.005\end{array}\right]$

外部扰动信号为:$w（t）=\sqrt{2\times {10}^{-3}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}t$，由此可计算得d=0.001.

基于定理3通过计算得到式（34）~式（37）的一个可行解为:

$\begin{array}{c}{P}_{12}=P_{21}=I\\ Y_1=Y_2=I\\ W_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right],W_2=\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right],\end{array}$

由此可得$K_1=\left[\begin{array}{c}10\end{array}\right]，K_2=\left[\begin{array}{c}01\end{array}\right]$，且由式（38）计算得到平均驻留时间为:

$\begin{array}{c}{\tau }_a>\frac{\mathrm{\Gamma }\left(1.5\right)\mathrm{l}\mathrm{n}1.01+0.5}{\mathrm{\Gamma }\left(1.5\right)\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{1.001}{0.011}-1.5}=\\ \frac{\frac{\sqrt{\pi }}{2}\mathrm{l}\mathrm{n}1.01+0.5}{\frac{\sqrt{\pi }}{2}\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{1.001}{0.011}-1.5}\approx 0.2037\end{array}$