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5∶3内共振轨道的非线性动力学研究*

  • 周毅1,2

    机 构：

    1. 北京工业大学材料与制造学部,北京 100124

    2. 淮南师范学院金融与数学学院,淮南 232038

    ×
  • ，张伟1

    机 构：

    1. 北京工业大学材料与制造学部,北京 100124

    ×

1. 北京工业大学材料与制造学部,北京 100124；
2. 淮南师范学院金融与数学学院,淮南 232038；

Nonlinear Dynamics of the 5∶3 Internal Resonant Orbit*

  • Zhou Yi1,2

    Affiliation：

    1. College of Mechanical Engineering, Beijing University of Technology, Beijing 100124 , China

    2. School of Finance and Mathematics, Huainan Normal University, Anhui 232038 , China

    ×
  • ，Zhang Wei1

    Affiliation：

    1. College of Mechanical Engineering, Beijing University of Technology, Beijing 100124 , China

    ×

1. College of Mechanical Engineering, Beijing University of Technology, Beijing 100124 , China；
2. School of Finance and Mathematics, Huainan Normal University, Anhui 232038 , China；

通讯作者:

张伟,E-mail:sandyzhang0@yahoo.com

中图分类号:O327

文献标识码:A

文章编号:1672-6553-2023-21(3)-037-007

DOI:10.6052/1672-6553-2022-015

参考文献 1
BEUTLER G,MERVART L,VERDUN A.Methods of celestial mechanics [M].Berlin:Springer-Verlag,2006.
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参考文献 2
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参考文献 3
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参考文献 4
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参考文献 5
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参考文献 6
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参考文献 8
KOTOULAS T,VOYATZIS G.Retrograde periodic orbits in 1/2,2/3 and 3/4 mean motion resonances with Neptune [J].Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy,2020,132:1-16.
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参考文献 9
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参考文献 10
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参考文献 11
MICHTCHENKO T A,FERRAZ-MELLO S.Modeling the 5∶2 mean-motion resonance in the jupiter-saturn planetary system [J].Icarus,2001,149:357-374.
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参考文献 12
XU W,LAI D.Migration of planets into and out of mean motion resonances in protoplanetary discs:Analytical theory of second-order resonances [J].Monthly Notices of the Royal Astronomical Society,2017,468:3223-3238.
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参考文献 13
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参考文献 14
MUSTILL A J,WYATT M C.Hamiltonian model of capture into mean motion resonance [C].Proceedings of the International Astronomical Union,2010,6:300-303.
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参考文献 15
SMIRNOV E A.Asteroids in three-body mean-motion resonances with Jupiter and Mars [J].Solar System Research,2017,51:145-149.
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参考文献 16
SMIRNOV E A,MARKOV A B.Identification of asteroids trapped inside three-body mean motion resonances:A machine-learning approach [J].Monthly Notices of the Royal Astronomical Society,2017,469:2024-2031.
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参考文献 17
Correa-Otto J A,CAADA-ASSANDRI M,GARCIA R S,et al.Dynamical classification of the asteroids in the Hungaria group:The objects affected by the exterior mean-motion resonance 2∶3 with Mars [J].Icarus,2021,367:114564.
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参考文献 18
HUANG X M,JI J H,DONG Y.Near 2∶1 mean motion resonance capture and orbital evolution of a Hot-Neptune system:Hd 106315 [J].Chinese Astronomy and Astrophysics.2021,45:99-117.
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目录contents

    摘要

    在平面圆型限制性三体模型基础上,详细研究了处于5∶3内共振的二阶共振轨道的动力学特性和演化.计算并得到了处于精确共振时的临界半长轴、临界偏心率和共振角与相位之间的关系.计算获得了(θ, a)平面上的庞加莱截面,系统地分析了偏心率、初始位置对于二阶共振轨道拓扑结构的动力学影响,解释了共振岛屿数量的转迁过程.利用庞加莱截面得到了一些经典轨道,如周期、概周期和混沌轨道,研究了小天体轨道的演化过程.在(θ, e, a)空间内生成共振域,得到了可视化的稳定域和混沌域.

    Abstract

    Based on the planar circular restricted three-body problem, the nonlinear dynamics of the second order 5∶3 internal mean motion resonance are studied. The eccentricity and initial location, namely the semimajor axis and phase, of the asteroid significantly affect the steady-state of the resonant orbits. The transition mechanisms are obtained for the number of the stable islands. Some typical orbits, including periodic, quasi-periodic, and chaotic ones, are obtained. Resonance spaces are generated in (θ, e, a) coordinate system, offering an intuitive visualization of stable and chaotic domains.

  • 引言

  • 轨道共振或称平运动共振是指卫星、行星等两个或多个天体的轨道频率之间存在简单的整数倍关系，并且是互素的[1，2].平运动共振是为太阳系和系外行星系统提供稳定性的一个基本机制[3，4].即使天体之间精确的共振不存在，但是稳定的拟周期轨道或者在平衡点附近的稳定运动仍然是可能存在的.这给保持天体轨道稳定，阻止天体之间近距离接近或受到大的扰动提供了可能性[5，6].共振也可能激发轨道偏心率或倾角[7]，潜在地增强潮汐能量耗散，从而导致轨道失稳.这种不稳定性可以被用来设计人造天体的转移轨道或者逃逸轨道.

  • 目前人们观测发现的稳定运行的共振天体，绝大部分处于一阶[8]、二阶[9]和三阶[10，11]等低阶共振.近年来，由美国国家航空航天局主持的开普勒任务和其后续计划凌日外行星勘测项目的观测数据显示，一些多行星系统内的行星之间形成或者非常接近共振[12]，如1∶3，3∶5平运动共振[13，14]等.

  • Michtchenko和Ferraz-Mello[11]利用一般平面三体模型，模拟了木星-土星系统的5∶2平运动共振，得到了这个共振系统的不同运动状态.Smirnov等人[15，16]利用数值积分和机器学习的方法，识别出部分与太阳系行星处于三体轨道共振中的小行星.Correa-Otto等人[17]构建了一个半解析模型用来计算与火星发生平运动共振的匈牙利族小行星，发现了23颗处于2∶3外共振的小行星.通过理论分析和数值模拟，Huang，Ji和Dong[18]对热海王星系统2∶1共振捕获和潮汐耗散进行了研究，探讨了HD106315c的初始半长轴、偏心率以及偏心率衰减系数对系统轨道结构的影响.众多学者此前的研究多集中在共振轨道的识别以及低偏心率条件下小天体轨道的演化，对于大偏心率情形下共振轨道的研究较少.本文借助庞加莱截面，讨论了初始位置和在（0.1，0.95）大范围内的初始偏心率变化对共振轨道的动力学影响.

  • 1 平面圆型限制性三体模型

  • 平面圆型限制性三体问题（PCR3BP）是研究无限小质量体在两个以圆轨道相互绕行的有限质量体引力场下的运动，小天体的运动被限制在大天体的轨道平面内（图1）.

  • 假设小天体A，第一主天体S和第二主天体P质量分别为m，m1和m2，且m ＜＜ m2 ＜ m1.会合坐标系O-xy平面与S、P轨道平面重合，原点O取在S和P的质心上，x轴从S指向P，y轴与x轴构成右手坐标系.θ是第二主天体P和小天体A近心点的夹角。引入质量比μ = m2 /（m1+m2），则大天体S和P在会合坐标系下的坐标分别为（-μ，0）和（1-μ，0）.小天体的方程可表示为:

  • x¨=2y˙+x-(1-μ)(x+μ)r13-μ(x-1+μ)r23
    (1)

  • 图1 会合坐标系下平面圆型限制性三体问题

  • Fig.1 The PCR3BP in synodic frame

  • y¨=-2x˙+y-(1-μ)yr13-μyr23
    (2)

  • 其中r1和r2分别是小天体A到两个大天体S和P的距离:

  • r1=(x+μ)2+y2
    (3)
  • r2=(x-1+μ)2+y2
    (4)

  • 假设两个天体A与P的平运动速度为n与n1，周期为T与T1.当满足:

  • nn1=T1T=p+ip
    (5)

  • 时，称A与P成（p + i）∶p共振，i称为共振阶数（其中p + i，p为互素整数）.若天体A的轨道半长轴a小于P的轨道半长轴a1，也即A的轨道在P轨道的内部，则称A与P成（p+i）∶p内共振（本文中p=3，i=2）; 反之称为外共振.

  • 由开普勒第三定律，可知:

  • nn1=a1a32(1-μ)12=p+ip
    (6)

  • 当发生（p+i）∶p精确共振时，半长轴ae满足:

  • ae=pp+i23(1-μ)13
    (7)

  • 对于（p + i）∶p平运动内共振，定义共振角:

  • φ=(p+i)λ'-pλ-iω~
    (8)

  • 其中λ=M+ω~，λ'=M'+ω~'.λ和λ′分别是小天体A和第二主天体P的平黄经，M和M′是平近点角，ω~和ω~′是近心点经度.方程（8）给出的是精确共振时共振角满足的关系.当小天体位于轨道的近心点时，有λ=ω~且θ=λ′-ω~，则

  • φ=(p+i)θ
    (9)

  • 由方程（9）可知，当发生（p+i）∶p精确平运动内共振时，φ与θ之间呈简单地线性关系，其物理意义是能够有效的避免小天体A与第二主天体P之间毁灭性的近距离接触.

  • 2 5∶3内共振的共振轨道

  • 假设小天体A与第二主天体P形成精确的5∶3平运动内共振，质量比μ=5×10-5，则小天体的轨道半长轴ae可由方程（7）计算获得:

  • ae=pp+i23(1-μ)13≈0.7114
    (10)

  • 小天体A的远心点距离da为:

  • da=a(1+e)
    (11)

  • 当远心点距离da等于1-2μ时，小天体A的共振轨道内切于第二主天体的轨道; 当远心点距离da小于1-2μ时，小天体A的共振轨道由内而外穿越第二主天体的轨道.故有下述关系:

  • ae1+ec=1-2μ
    (12)

  • 临界偏心率为:

  • ec=1-2μae-1≈0.4056
    (13)

  • 由方程（8）和方程（9），可得共振角为:

  • φ=5λ'-3λ-2ω~
    (14)

  • 为了研究小天体A共振轨道的不同相空间结构，以下我们将计算（θ，a）平面上的庞加莱截面，讨论初始偏心率和初始位置（初始相位和初始半长轴）对于轨道演化的作用.

  • 2.1 偏心率e ＜ 0.4056时，共振轨道的几何结构

  • 从图2（a）和图2（b）可以看出，当小天体A的偏心率e＜0.4056时，庞加莱截面上存在5个稳定岛屿（第一共振区），它们的中心分别在θ=36°，108°，180°，252°和324°.位于这些稳定岛屿的中心分别有一个不动点，对应于稳定的周期轨道.围绕着不动点的光滑闭合曲线代表了围绕稳定精确5∶3内共振轨道振动的概周期轨道.处于这些稳定概周期轨道上的小天体的共振角呈现出天平动现象，称该轨道为天平动轨道.这意味着共振角φ会在某个值附近振荡（即φ˙周期性的改变符号），且其振幅小于360°.稳定岛屿的外部被光滑非闭合曲线包围，这些非闭合曲线也对应着概周期轨道.处于这些光滑非闭合曲线上的小天体的共振角持续增大或减小（即φ˙的符号保持不变），该轨道为循环轨道.在较小的偏心率下，小天体的远心点距离远小于行星的轨道半径，因此由低质量第二主天体引起的引力扰动较小，在这种情况下不存在混沌区域.

  • 图2 5∶3内共振轨道庞加莱截面

  • Fig.2 Poincaré section of 5∶3 internal MMR

  • 图3（a）和图3（b）给出了偏心率e=0.1，初始位置（θ0，a0）=（180°，0.7114）[记作（0.1，180°，0.7114）]的小天体处于精确的5∶3平运动内共振时在（x，y）面上的相图和在（t，x）面上的时序图.该共振轨道对应的是图2（a）中心在θ=180°的第一共振区的不动点，小天体A在大天体S和P的引力作用下做稳定的周期运动.

  • 图3（c）和图3（d）给出了初始条件为（0.2，215°，0.7061）的小天体的相图和时序图，此时小天体A做稳定的概周期运动.

  • 图3 不同初始条件下小天体5∶3内共振轨道的相图和时序图

  • Fig.3 Phase portraits and time series

  • 2.2 偏心率0.4056 ≤e＜ 0.75时，共振轨道的几何结构

  • 图4 5∶3内共振轨道庞加莱截面

  • Fig.4 Poincaré section of 5∶3 internal MMR

  • 偏心率e≥ 0.4056时，五个以θ = 0°，72°，144°，216°和288°为中心的新稳定岛屿（第二共振区）出现在庞加莱截面上（见图4），稳定岛屿的数量从5个增加到10个.这些新的稳定岛屿代表着新的稳定周期轨道和概周期轨道.当偏心率进一步增大时，第一共振区会持续收缩直到完全消失.另一方面，第二共振区继续扩张.

  • 图5 不同初始条件下小天体5∶3内共振轨道的相图和时序图

  • Fig.5 Phase portraits and time series

  • 图5（a）和图5（b）是初始条件为（0.45，144°，0.7114）的小天体的相图和时序图.该稳定的周期轨道对应的是图4（a）中心在θ=144°的第二共振区的不动点.此时相图是一条五叶曲线，第二主天体的虚拟轨道被分割成10段，导致庞加莱截面上的第二共振区出现，稳定岛屿数量由5个增加到10个.随着叶瓣内弧段的长度增加，第二共振区持续扩大.

  • 图5（c）和图5（d）是初始条件为（0.7，210°，0.718）的小天体的混沌轨道.

  • 2.3 偏心率0.75≤e＜0.8时，共振轨道的几何结构

  • 如图6所示，当偏心率大于0.75时，第一共振区消失，稳定岛的数量从10个减少到5个.同时，以θ=0°，72°，144°，216°和288°为中心的第二共振区的覆盖的范围变大.

  • 图7（a）和图7（b）是初始条件为（0.75，0°，0.7114）的小天体的稳定周期轨道.第二主天体的虚拟轨道被小天体轨道的五个叶瓣分割成五段，第一共振区消失，稳定岛屿数量减到5个.图7（c）和图7（d）是初始条件为（0.75，340°，0.71）的小天体概周期轨道.

  • 图6 偏心率e=0.8时，小天体的庞加莱截面

  • Fig.6 Poincaré section with e=0.8

  • 图7 不同初始条件下小天体5∶3内共振轨道的相图和时序图

  • Fig.7 Phase portraits and time series

  • 2.4 偏心率e＞ 0.8时，共振轨道的几何结构

  • 当偏心率增加到0.8以上时，第一共振区会重新出现并以第二共振区的缩减为代价而扩张（见图8），同时混沌区域也在不断扩大.稳定的岛屿数量再次从5个增加到10个.

  • 图8 偏心率e=0.85时，小天体的庞加莱截面

  • Fig.8 Poincaré section with e=0.85

  • 图9（a）和图9（b）是初始条件为（0.85，72°，0.7114）的小天体的稳定周期轨道.共振轨道的五个叶瓣产生交叉，第二主天体的虚拟轨道又被分割成10段，庞加莱截面上出现10个稳定岛屿.图9（c）和图9（d）是初始条件为（0.85，120°，0.703）的小天体轨道在（x，y）面上的相图和在（t，x）面上的时序图，小天体A在大天体S和P的引力作用下做混沌运动.

  • 图9 不同初始条件下小天体5∶3内共振轨道的相图和时序图

  • Fig.9 Phase portraits and time series

  • 2.5 共振域的全景图

  • 如图10所示，将偏心率在0.1~0.95内计算得到的庞加莱截面上的所有点绘制在（θ，e，a）坐标系中，由此得到5∶3内共振的共振域.在（θ，e，a）坐标系下，共振区域形成10个椭圆锥体，垂直于e轴的截面是庞加莱截面.

  • 图10 小天体5∶3内共振在（θ，e，a）坐标系下的共振域

  • Fig.10 Resonance space of 5∶3 internal MMR

  • 随着偏心率的增大，中心位于θ=36°，108°，180°，252°和324°的五个椭圆锥的垂直于e轴的截面半径先增大后减小直至为0，最后截面再次出现并增大.另外五个中心位于θ=0°，72°，144°，216°和288°的椭圆锥截面半径先增大后减小.锥面是稳定共振域和不稳定域的分界面，锥面上的点做概周期运动.锥体内部的小天体表现出周期和概周期两种稳定运动.锥体外部空间中的无序点对应混沌运动.

  • 3 结论

  • 本文基于平面圆型限制性三体模型，研究了处于5∶3平运动内共振的小天体的二阶共振轨道动力学.在（θ，a）平面上生成了随小天体偏心率变化的共振轨道的庞加莱截面，研究了偏心率对小天体共振轨道庞加莱截面拓扑结构的动力学影响，发现偏心率、初始相位和初始半长轴对小天体共振轨道的演化和稳定性都具有重要的影响.概周期轨道是保持小天体轨道稳定，防止小天体进入混沌区域的重要机制.利用庞加莱截面，得到了一些典型的轨道，包括周期轨道、准周期轨道和混沌轨道.在（θ，e，a）坐标系中生成了共振域，提供了稳定域和混沌域的直观可视化.

  • 精确的5∶3内共振轨道在偏心率大于0.1时具有5个叶瓣; 并且这个轨道在庞加莱截面上的稳定岛屿数量与第二主天体虚拟轨道被5个叶瓣分割成的圆弧段数量有关.稳定岛屿数量转迁的机制如下:

  • （1）当e＜ 0.4056时，庞加莱截面上有5个稳定岛屿;

  • （2）当0.4056≤e＜0.75时，小天体共振轨道的5个叶瓣将第二主天体的虚拟轨道分割为10段圆弧，结果使稳定岛屿的数量翻倍到10个;

  • （3）当0.75≤e≤0.8时，共振轨道的5个叶瓣将第二主天体的虚拟轨道分割成5段近似等长的圆弧，导致稳定岛的数量从10个减少到5个;

  • （4）当0.8＜e时，共振轨道的5个叶瓣形成交叉，再一次将第二主天体的虚拟轨道分割为10段圆弧，稳定岛屿的数量又增加到10个.

  • 参考文献

    • [1] BEUTLER G,MERVART L,VERDUN A.Methods of celestial mechanics [M].Berlin:Springer-Verlag,2006.

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  • 基本信息

    中图分类号: O327
    文献标识码: A
    DOI: 10.6052/1672-6553-2022-015
    文章编号: 1672-6553-2023-21(3)-037-007

    基金信息

    国家自然科学基金资助项目(11832002)；
    淮南师范学院自然科学研究项目(2020XJZD007, 2022XJZD032)；
    National Natural Science Foundation of China(11832002)；
    the research foundation of Huainan Normal University (2020XJZD007, 2022XJZD032)；

    引用信息

    稿件历史

    收稿日期: 2022-03-11

  • 参考文献

    • [1] BEUTLER G,MERVART L,VERDUN A.Methods of celestial mechanics [M].Berlin:Springer-Verlag,2006.

    • [2] LEMAÎTRE A.Resonances:models and captures in dynamics of small solar system bodies and exoplanets [M].Berlin:Springer-Verlag,2010.

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    • [4] ANTONIADOU K I.Regular and chaotic orbits in the dynamics of exoplanets [J].European Physical Journal:Special Topics,2016,225:1001-1016.

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