0 引言

非光滑动力学系统是近年来国内外学者十分关注的非线性动力学前沿领域之一.在力学､航空航天､机械等实际动力学系统中,存在着间隙､碰撞､干摩擦等非光滑因素.例如电路系统的开关装置^[1,2] ､碰撞和干摩擦问题^[3] ､走路机器^[4] 和时滞反馈控制问题^[5]等.采用光滑动力系统理论模型来近似描述非光滑系统往往不是很精确,因此发展非光滑动力系统的理论显得尤为必要.目前研究成果主要集中在非光滑系统的局部分岔,而在非光滑系统的全局分岔和混沌动力学方面成果相对较少.非光滑系统的全局分岔和混沌动力学的研究方法主要是推广光滑系统的经典Melnikov方法.

本文主要对近年来非光滑系统全局动力学Melnikov方法的研究进展进行全面的综述比较,特别地介绍了本文作者在非光滑系统全局动力学的Melnikov方法的研究工作,突出发展的Melnikov方法具有几何直观性以及在工程计算方面的优势.

1 研究背景及现状

1.1 非光滑动力系统的分类^[6]

考虑如下系统:

其中,x∈R ⁿ,系统参数 μ∈R ^m.式中的 ƒ 具有分段光滑的形式,系统的相空间R ⁿ 被光滑的开关流形∑分成两个不相交的子区域V₊和V_-,即R ⁿ=V_-∪∑∪V₊ , 且在各子区域内 ƒ 是光滑的函数,在两个子区域相交的边界上,ƒ 是非光滑的函数.根据 ƒ 的非光滑程度可以将非光滑动力学系统分为以下三类:

(1)连续非光滑系统

连续非光滑系统是指向量场 ƒ在开关流形上连续,但Jacobi矩阵不连续.此时非光滑系统的动力学方程为:

当x∈∑时,Df ^-(x)≠Df ⁺(x).

非光滑连续系统的一个代表性力学模型为弹性碰撞模型,如图1 所示.

(2)Filippov系统(Filippov systems)

Filippov系统是指向量场在开关流形上不连续.此时非光滑系统的动力学方程为:

Filippov系统的一个代表性模型为干摩擦模型,如图2 所示.

The model with an elastic collision

(3)混合系统(Hybrid systems)

混合系统是指系统轨道在开关流形上发生碰撞,用映射R表示轨道在开关流形上的瞬时碰撞规律.其中,∑表示开关流形,V为系统的状态空间.

有两类典型的混合系统如下:

类型一:

类型二:

混合系统的两个具有代表性模型如图3 和图4 所示.

类型二系统的运动微分方程为:

其中,r为碰撞系数

1.2 非光滑系统全局动力学的研究现状

近年来,由于非光滑动力系统的重要性,吸引了众多科学工作者的关注.许多学者在全局分岔和混沌动力学方面做出了诸多努力,并取得了一些具有代表性的成果.非光滑系统的Melnikov方法的研究也成为了近年来的研究热点.

2000 年,Kunze ^[7]在其专著第8 章通过一个例子简单地介绍了平面不连续系统的Melnikov方法的基本思路.选取的开关流形是x轴,并且假设未扰动系统具有一个两次横截穿过开关流形的同宿轨道.2005 年,Du和Zhang ^[8]研究了在一类周期外激励作用下的倒立摆与刚性墙面碰撞的振子模型, 将经典的Melnikov函数推广到高阶,给出非线性碰撞倒立摆同宿分岔的Melnikov方法.倒立摆模型如图5 所示.

2006 年,Cao ^[9]等提出了一类典型的具有非光滑和不连续特征的几何非线性动力系统,并命名为SD振子,通过分段线性逼近和Melnikov方法解析地研究了SD振子的全局分岔和混沌动力学^[10].2009 年,Xu ^[11]等选取未扰动系统同宿轨道在不同位置处的法线,重新推导出图5 中的倒立摆同宿分岔的Melnikov函数.2010 年,Tian ^[12,13] 等利用分岔理论分析了SD振子的Hopf分岔和余维二分岔.2012 年,Granados等^[14] 研究了具有一个开关流形的平面分段光滑次谐轨道和异宿轨道的Melnikov方法.2015 年,Gao和Du ^[15] 在拟周期扰动下研究了一类具有双侧刚性约束的非线性倒置单摆的同宿分岔问题,得出了相应的Melnikov函数.2016 年,Tian等^[16,17]通过碰撞系统的Melnikov函数,进一步研究了一类脉冲激励作用下非光滑系统的混沌阈.2018 年,秦琅等^[18] 考虑了一个含小阻尼､受周期激励的单自由度干摩擦振子,运用Melnikov方法得到系统出现马蹄型混沌的参数区域.

2007 年,Kukǔcka ^[19] 推广了经典Melnikov方法,并导出了平面非光滑系统的Melnikov函数.由于系统的不连续性,得出的Melnikov函数具有差分项.2013 年,Shi等^[20] 通过研究Kunze在其专著第8 章中的例子,对推导Melnikov函数的过程给出了具体证明.但是,文章给出的Melnikov函数同样含有由于系统的不连续性产生的差分项,不易计算.

2008 至2011 年,Battelli和Fecˇkan ^[21-23]利用指数二分法和变分技术,给出了一类高维不连续系统的Melnikov方法,并证明了非光滑系统的同宿分岔和混沌动力学.2012 年,Battelli和Fecˇkan ^[24] 对不连续系统Melnikov方法给出了综述.然而他们的理论缺少几何直观性,不容易被应用解决实际工程问题.

为了解决非光滑系统Melnikov函数中难以计算的差分项问题,同时,保持理论推导的几何直观性.2014 年,Li等^[26]首次给出了一类平面不连续系统全局分岔的Melnikov函数,假设未扰动系统是分段Hamilton系统,且未扰动系统的同宿轨道两次横截穿过开关流形,通过一个巧妙的计算技巧得到一个积分表达形式的Melnikov函数.基于这些思想, 2016 年,Li等^[27-29]在开关流形上通过碰撞映射描述碰撞规律,推导出一类平面混合分段光滑系统同宿和异宿分岔的Melnikov函数.2017 年,Li等^[30] 假设未扰动系统是具有非零迹的一般平面分段光滑系统,考虑周期摄动和轨道在开关流形上瞬时跳跃的情况,通过一系列具有几何直观性的摄动技巧,得到该系统同宿分岔的Melnikov函数,并应用该方法解析地研究了一个具体系统的全局分岔和混沌动力学.

2 非光滑系统全局动力学的Melnikov方法的研究进展

2.1 Kunze ^[7]得到的Melnikov函数

考虑系统如下:

其中,$q=(x,y{)}^{\mathrm{T}},f(x,y)=\{\begin{array}{c}{f}^{+}(x,y),y>0\\ f^{-}(x,y),y<0\end{array}$

f ^± (x,y),g ^±(x,y,t)是充分光滑(C ^r, r≥2)的函数,且g是关于t的 $\widehat{T}$ 周期函数.

假设H1:当 ε=0 时,上述系统在下半平面有一个鞍点p₀,且存在连接p₀ ,并穿过开关流形x轴的一个分段光滑同宿轨道q₀(t),如图6 虚线所示.

定义纽扩系统(suspended system)如下:

当 ε>0,且 ε 充分小时,该系统有一个双曲周期轨道 γ_ε,且 γ_ε =γ₀ +Ο( ε)∈R ²,γ_ε 有分段C ^r 的稳定流形和不稳定流形,分别记作W ^s( γ_ε) 和W ^u( γ_ε).固定 θ₀∈S ¹≅ [0,2π],并在 θ=θ₀ 的平面 ${\mathrm{\Sigma }}_{{\theta }_0}$=R ²× {θ₀ }上定义一个直线分割L,使得分割L在q₀(0) 点处垂直于同宿轨道 {q₀(t),t∈R}.记 $P_{\epsilon ,{\theta }_0}$为 γ_ε 和 ${\mathrm{\Sigma }}_{{\theta }_0}$的交点,并且假设q ^u,s(t;θ₀,ε)是系统位于 $P_{\epsilon ,{\theta }_0}$ 的不稳定流形W ^u($P_{\epsilon ,{\theta }_0}$)和稳定流形W ^s($P_{\epsilon ,{\theta }_0}$)上,且

在距离q₀(0)最近的点处横截穿过直线分割L的唯一轨道.通过度量稳定流形和不稳定流形的距离,得到Melnikov函数为:

其中,M₀(θ₀)如式(10)所示.

Kunze通过一个例子给出了平面不连续系统的Melnikov方法的基本思路,由于系统的不连续性,产生的差分项部分不容易计算.

2.2 Kukǔcka等^[19]发展的Melnikov函数

定义标量函数h:G′→R,h∈C ^r(G′,R),r≥1, 生成一个超曲面∑,将G′⊂R ⁿ 分成两个开的且不相交的子集V_-和V₊ ,子集V_- ､V₊ 和超曲面∑分别用下面公式表述为:

超曲面 ∑ 的法向量为: n( x)=[Dh(x) ] ^T, x∈∑,对∀_x∈∑,总有n(x)≠0.

考虑如下不连续系统:

其中,t∈R,x∈R ⁿ,f:G′→R ⁿ,g:G→R ⁿ .其中,G:=J×G′⊂R×R ⁿ,且 ƒ,g在各自区域充分光滑ƒ,g满足如下式子:

不连续系统满足下列假设.

假设M1:当 ε=0 时,系统(12)有一个双曲鞍点x₀∈V_-,令u₀(t)是连接x₀ 的分段同宿轨道,并与∑横截相交2k次( k≠0),如图7 所示.其中,存在序列${\left\{\mathrm{\tau }\mathrm{j}\right\}}_{\mathrm{j}\mathrm{ }=\mathrm{ }1}^{2\mathrm{k}}$,-∞< τ₁< τ₂< ‧‧‧< τ_2k< + ∞, 使得u₀(τ_j) ∈∑,j=1,‧‧‧,2k.

假设M2:$\mathrm{t}\mathrm{r}\left(\mathrm{D}{f}_{-}\right)=\mathrm{t}\mathrm{r}\left(\mathrm{D}{f}_{+}\right)=0$(14)

假设M3:g是关于时间t的T周期函数,即存在T>0,使得

通过一系列的计算,度量稳定流形与不稳定流形之间的距离:

其中,M(θ)=M₁ +M₂ +M₃.M(θ)就是Kukucka等人得出的Melnikov函数.

由于M1 在形式上与连续系统的Melnikov函数相同,称为光滑部分;

M₂ 称为不稳定部分;

上式M₃ 称为稳定部分.这三个部分组成不连续的Melnikov函数.

Kukǔcka推广了经典Melnikov方法,并导出了平面非光滑系统的Melnikov函数.由于系统的不连续性,得出的Melnikov函数具有差分项.

2.3 Battelli和Fe$\check{\mathrm{c}}$kan^[21-24]得出的Melnikov函数

Battelli和Fe$\check{\mathrm{c}}$kan等人利用指数二分和分段同宿轨道上的变分方程解的结构,得到一般高维非光滑系统的Melnikov函数,主要结果如下:

考虑系统

其中,Ω⊂R ⁿ 为R ⁿ 中的有界开集,G_j(z), j=1,‧‧‧, p为 Ω 中的C ^r(r≥2) 函数.

设$S_j=\{z\in \mathrm{\Omega }|G_j\left(z\right)=0\}$

令$f_i\left(z\right)\in C_b^r\left(R^n\right),g_i(t,z,\epsilon )\in C_b^r\left(R^{n+2}\right)$

定义$f\left(z\right):=f_i\left(z\right),g(t,z,\epsilon ):=g_i(t,z,\epsilon )$,其中,$z\in {\mathrm{\Omega }}_i\cdot G\left(x\right):=\prod _{j=1}^p{G}_j\left(x\right)$

设z(t)是上述方程的一个解,下列假设成立.

假设N1:对于 ε=0,方程(20) 有一个双曲平衡点x=0∈Ω₀ 和一个在C ¹ 上连续分段的解 γ(t) ∈Ω.γ(t)是过平衡点x=0 的同宿解,包括三个部分,如下所示:

其中, 当t> $\overline{T}$, 有 γ_±( t) ∈ Ω₀.对于t< $\overline{T}$, 有 γ₀(t)∈Ω,且满足:

假设N2:对于任意的点t_∗ ∈R,γ( t_∗)∈S_j,有下式成立:

令

Battelli和Fe$\check{\mathrm{c}}$kan等得到的Melnikov函数为:

考虑二维分段光滑系统,设(x,y∈R)

式中, 当( x, y) ∈ Ω₊={(x,y) | G(x,y)>0} 时取 “+”, 当( x, y) ∈ Ω_-={(x,y) | G(x,y)<0} 时取 “-”.

当 ε=0 时将系统转换为:

设系统的同宿轨道中${\gamma }_{\pm }\left(t\right)=\left(\begin{array}{c}{u}_{\pm }\left(t\right)\\ v_{\pm }\left(t\right)\end{array}\right)\in {\overline{\mathrm{\Omega }}}_{-}$,

此外,令

是系统(25)线性化的Jacobi矩阵的迹.其中,

经过一系列的化简和计算,得出的Melnikov函数为:

其中,

$\begin{array}{cc}{\delta }_{-}=& (\frac{G^{\mathrm{\text{'}}}\left(\gamma \right(-\overline{T}\left)\right){\gamma }_0(-\overline{T})}{G^{\mathrm{\text{'}}}\left(\gamma \right(-\overline{T}\left)\right){\gamma }_{-}(-\overline{T})}-1)\cdot \\ & {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{-\overline{T}}{f}_{-}\left(\gamma \left(t\right)\right)\wedge g\left(t+\alpha ,\gamma \left(t\right),0\right)e^{-{\int }_0^{t}a\left(\tau \right)\mathrm{d}\tau }\mathrm{d}t\\ {\delta }_{+}=& \left(\frac{G^{\mathrm{\text{'}}}\left(\gamma \left(\overline{T}\right)\right){\dot{\gamma }}_0\left(\overline{T}\right)}{G^{\mathrm{\text{'}}}\left(\gamma \left(\overline{T}\right)\right){\gamma }_{+}\left(\overline{T}\right)}-1\right)\cdot \end{array}$

Battelli和Fe$\check{\mathrm{c}}$kan的结果是从一般高维系统推导的Melnikov函数,降低到二维平面系统,从而缺少几何直观性.Li等^[26] 就此方向做了一系列的研究,为追求几何直观性､Melnikov函数形式完美､易于计算,做了大量研究工作.

3 平面混合不连续系统同宿轨道的Melnikov方法

3.1 Li等^[30]得出的Melnikov函数

2017 年Li ^[30] 等提出,研究平面混合不连续系统的全局分岔和混沌动力学问题, 得到相应的Melnikov函数,利用得到Melnikov函数来研究具体的非光滑系统的全局分岔和混沌动力学.

定义1 定义一个标量函数h:

使得空间R ² 被开关流形∑分为两个不相交的开子集V ⁺和V ^-,开关流形􀰑和子集V ⁺ 和V^- 可以表述为:

开关流形∑的法向量可以定义为:

且满足n(x,y)≠0,(x,y)∈∑.

定义2 考虑一般形式的平面分段光滑系统如下:

其中,(x,y)∈R ²,ε(0<ε<1) 是小参数,假设对于 ∀(x,y) ∈R ², f_± ∈C ^r( R ² →R) 是C ^r 满足r≥2, ∀(x,y)∈R ²,g_±∈C ^r(R ²×R→R ²),满足r≥2,且关于t是 $\widehat{\mathrm{T}}$-周期的.

定义3 为了描述开关流形∑上的碰撞规律,定义一个碰撞映射如下所示:

对于 ∀( x, y) ∈ ∑, 满足 $\tilde{\rho }$₀ ( x, y)=( x, y), h($\tilde{\rho }$_ε(x,y))=0.其中,0<ε≤1,定义 $\tilde{\rho }$_i,ε,$\tilde{\rho }$_i,ε∈C ^r (R ²),(i=1,2),满足r≥1;对于∀(x,y)∈R ²,0<ε≤1,定义 $\tilde{\rho }$_ε ( x,y) 的逆映射为${\tilde{\rho }}_{\mathrm{\epsilon }}^{-1}$( x,y),且${\tilde{\rho }}_{\mathrm{\epsilon }}^{-1}$( x,y)=($\tilde{\mathrm{\eta }}$_1,ε(x,y),$\tilde{\mathrm{\eta }}$_2,ε(x,y)).

为了更加直观形象地理解上述不连续系统的解的情况,下面给出在初始条件为( x₀,y₀ ,t ₀) 时,系统分别满足 ε=0(如图8)和 ε>0(如图9)时的轨迹图像.

为了将Melnikov方法扩展到一般的非光滑平面混合系统,并保证上述结构,对未扰动系统的几何结构做出了下列假设.

假设K1:对于 ε=0,上述方程有一个平衡点p₀∈V_-系统有一段分段光滑的解 γ(t)∈R ² 同宿于平衡点p₀ ,且假设同宿轨道的解析表达式如下所示

其中,t ^u<0<t ^s.当t<t ^u 或t>t ^s 时,${\mathrm{\gamma }}_{-}^{\mathrm{1,2}}$ ∈V_-;当t ^u<t<t ^s 时,γ₊(t)∈V₊ ,且满足条件${\mathrm{\gamma }}_{-}^1$( t ^u)=γ₊( t ^u)∈∑与${\mathrm{\gamma }}_{-}^2$(t ^s )=γ₊(t ^s)∈∑.

假设K2:假设同宿轨道 γ(t)横截穿过开关流形∑,不妨满足如下假设:

未扰动系统的几何结构

定义4 等价纽扩系统(suspended system),为了进一步研究非光滑系统全局动力学问题,导出非光滑系统的Melnikov方法,将系统(35)和(36)转化为如下的等价系统:

$\dot{\mathrm{\theta }\mathrm{ }}$=1

其中,θ=t(mod$\widehat{\mathrm{T}}$) ∈S ¹.

在三维相空间R ² ×S ¹,通过延伸定理4.5.1 ^[25] 和定理4.5.2 ^[25],得到下列命题

命题1 对于上述假设都成立的情况下,系统(39) 和(40)在 ε=0 时的未扰动系统有一个双曲周期轨道 ψ₀=({p₀ ,θ):p₀∈V_-,θ∈S ¹ },进一步,W ^u,s(ψ₀) 分别是双曲周期轨道 ψ₀ 的稳定流形和不稳定流形,且横截相交于 Γ≡{(γ(t),θ) ∈R ²×S ¹} 的同宿流形.对于充分小的 ε>0,系统有一个双曲周期轨道 ψ_ε={(P_ε,θ) :P_ε=P₀ +O(ε)∈V_-,θ∈S ¹}.进一步而言,W ^u,s(ψ_ε)分别是 ψ_ε 的稳定流形和不稳定流形,且$W^{u\left(s\right)}\left({\psi }_{\epsilon }\right)\stackrel{\epsilon }{⟶}{W}^{u\left(s\right)}\left({\psi }_0\right)$

记:$\begin{array}{c}{\tau }_{\epsilon }^u={\theta }_0+T^u({\theta }_0,\epsilon )={\theta }_0+t^u+O\left(\epsilon \right)\\ {\tau }_{\epsilon }^s={\theta }_0+T^s({\theta }_0,\epsilon )={\theta }_0+t^s+O\left(\epsilon \right)\end{array}$(41)

且 θ₀ +T ^u,s(θ₀,ε)分别为扰动轨道q ^u,s(t,θ₀,ε)横截穿过开关流形的时间.扰动系统的相图如下:

定义5 定义系统在扰动后稳定流形W ^s(ψ₀)和不稳定流形W ^u(ψ₀)间的距离函数d(θ₀):

计算定义的距离函数在扰动参数 ε=0 处的一阶泰勒展开式:

令${\mathrm{\Delta }}^{u\left(s\right),\pm }(t,{\theta }_0)=f_{\pm }\left(\gamma \right(t-{\theta }_0\left)\right)\wedge q_1^{u\left(s\right),\pm }(t,{\theta }_0)$,综合上式,将d(θ₀)化简为:

其中,$M\left({\theta }_0\right)={\mathrm{\Delta }}^{u,+}({\theta }_0,{\theta }_0)-{\mathrm{\Delta }}^{s,+}({\theta }_0,{\theta }_0)$,即M(θ₀ ) 表示一阶非光滑Melnikov函数.

当上述假设都成立,若存在${\theta }_0\in S^1\cong [0,\hat{T}]$ 使得:

则对充分小的 ε,系统( 35) 和( 36) 的稳定流形W ^S(ψ_ε )和不稳定流形W ^u(ψ_ε )在 θ₀ 附近横截相交

设系统的同宿轨道中

此外,令

是系统(35)线性化的Jacobi矩阵的迹.其中,

定理1 经过一系列的分析化简,非光滑系统中一阶Melnikov函数的一般形式可以表示如下:

性质1 上述假设都满足,且系统(35)和(36)满足 $\tilde{\mathrm{\rho }}$_ε(x, y)=( ρ_1,ε( x, y), ρ_2,ε(x,y))=( x, y),此时(50)式中的一阶非光滑Melnikov函数可以化简为:

性质2 上述假设都满足,且系统(35)和(36)满足traceDf(x, y)=0, 此时( 50) 式中的一阶非光滑Melnikov型函数可以化简为如下形式:

性质3 上述假设都满足,且系统(35)和(36)满足 $\tilde{\mathrm{\rho }}$_ε( x, y)=( ρ_1,ε(x,y),ρ _2,ε(x,y))=( x, y), 且traceDf(x, y)=0, 此时( 50) 式中的一阶非光滑Melnikov型函数可以化简为如下形式:

3.2 应用

(1)设非光滑系统的微分表达式为:

其中,ε(0<ε<1) 是小参数,μ 是阻尼参数,f ₀ 是激励幅值.

开关流形上的碰撞规律为:

这里${\rho }_0$ 是正的参数,${\tilde{\rho }}_{\epsilon }$(x,y)的逆映射可表示为:

未扰动系统是一个分段定义的哈密顿系统,令 ε=0,可以写成如下形式:

同宿轨道的解析表达式